Может ли математическое ожидание дискретно случайно величины, принимающей целые значения, быть числом не целым? Ответ обойснуйте.

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)=  Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( )( ) = M(X)M(Y)

57. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(X +Y) = M(X ) +M(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения⁽*⁾( возьмем 2 значения):

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p₁₁,p₁₂,p₂₁,p_22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x₁+y₁)* *p₁₁+(x₁+y₂)* p₁₂+(x₂+y₁)* p₂₁+(x₂+y₂)* p₂₂, или M(X+Y) = x₁*(p₁₁+p₁₂)+ x₂*(p₂₁+p₂₂)+ +y₁*(p₁₁+p₂₁)+ y₁*(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящие в том, что X примет значение x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна  p₁₁+p₁₂), и обратно. Отсюда следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются равенства p₂₁+p₂₂=p₂, p₁₁+p₂₁=g₁ и  p₁₂+p₂₂=g_2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂), или M(X+Y)= M(X)+M(Y).

58.    Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Более удобная формула: D(X) = M(X ²) −M² (X). Св-ва: 1⁰. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0. 2⁰. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С²D(X). 3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y). 4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). 5⁰ Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

59. Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = M(X ²) −M²(X).

Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и  M²(X) также постоянные величины.  D(X) = M(X ²) −M² (X)= M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-2M²(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X). т.е. D(X) = M(X ²) −M²(X).

60. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)<(M(X ))² ? Ответ обоснуйте.

По определению дисперсии D(X)=M[X-M(X)] ²,тогда

D(X)=M[X²-2ХM(X)+ M² (X)]= M(X²)-2 M² (X)+ M² (X)= M(X²)- M² (X).

Итак, для любой с.в.Х D(X)= M(X²)- M² (X), D(X)≥0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство M(X²) ≥M² (X). Поэтому неравенство М(Х²)< [M(X)] ² выполняться не может.

61. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то

D[XY]= D[X ]⋅D[Y ]+M[X ]² D[Y ]+M[Y ]² D[X ].

D(XY) = (M(XY)²)-[M(XY)]² = M(X²Y²)-(M(x))²(M(Y))² = M(X²)M(Y²)-M²(X)M²(Y) = (D(X)+[M(X)]²)(D(Y)+[M(Y)]²) – M²(X)M²(Y) = D(X)D(Y)+M(Y)²D(X)+M(X)²D(Y). Ч.т.д.

62. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр, D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

63. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

64. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром  . Докажите, что M(X ) = D(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей: