Что называется биномиальным распределением с параметрами n и p? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

 Пусть произ­водится определенное число п независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассматриваемая случайная величина Х- число наступ­лений событий А в п опытах. Соответствующая таблица имеет вид:

 где P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k

48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? Увяжите с предельной теоремой Пуассона.

 Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют следующую формулу  , где - число появлений события в n независимых испытаниях, l= np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что с.в.распределена по закону Пуассона. (Есть спец.таблицы для нахождения P (k), зная и l. В виде таблицы это выглядит так

X	0	1	K	…
p				…

49. Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают 200 раз. Пусть X₁ – число выпадений грани 1; X₂ – число выпадений грани 2 . Будут ли зависимыми случайные величины X₁ и X₂ ? Ответ обоснуйте.

X и Y независимы, если выполняется равенство P(X=a, Y=b) = P(X=a)P(Y=b).

P(X₁=200) = (1/6)²⁰⁰ (т.к. опыт проводился 200 раз).

Следовательно, можно записать P(X₁=200, Y₁=200) = 0. Однако такого быть не может, т.к. если одна грань выпала 200 раз, то вторая уже не может (она эти 200 раз НЕ ВЫПАЛА). Следовательно эти величины зависимы.

50. Пусть X,Y,X – независ СВ, принимающие с вероятностью 1\2 значения 0 и 1. Верно ли, что X+Y и Y+Z – независ СВ?

 
 P(x+y=0, y+z=0)=P(x=y+z=0)=1\8; P(x=0)*P(y=0)*P(z=0); P(x+y=0)*P(y+z=0)=1\16 – P(x+y,y+z)=1\4*1\4

1\8¹1\16  - зависимые.

Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности

 Пусть случайная величина X связана с некоторым опытом. Провели n испытаний и при этом возникла статистика                                

Найдем среднее значение X =     _è при n стремящимся к бесконечности = X₁*p₁ + X₂*p₂ т.к по статистическому определению вероятность события примерно равна отношению числа успехов к общему числу испытаний.  

Lim X = X₁*p₁ + X₂*p₂  M(X))

Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины  с законом распределения

Называется число

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1) Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: М(С)=С

2) .Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(сХ)=сМ(Х).

Следовательно: M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y)

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

4) Если случайные величины  независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий:

5) Мат. ожидание от функции  равно:

Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину , где g(X,Y) – некоторая числовая функция. Тогда система (Х,У) характеризуется следующей таблицей:

Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.

X	1	2	22	…	2n	…
P				…		…

 ряд расходится т.к. => нет математич. ожидания.