Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А) (1) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности Ра(В1), Ра(В2),…., Ра(Вn). Найдем вначале условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем Р(АВ1) = Р(А) Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А) Отсюда Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А) Р(А) Заменим здесь Р(А) по формуле (1), получаем pA(Hi)= рвi(A)p(Вi) . рВ1(А1)р(В1)+рВ2(А)р(В2)+…+рВn(А)р(Вn) Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i= 1,2,…,n) может быть вычислена по формуле Ра(Вi) = Р(Вi) Рвi(А) Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А)+….+Р(Вn) Рвn(А) Полученные формулы называются формулы Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Пример: Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором – m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем – n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика. Решение.
30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятностиk успехов в серииn испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения. Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие , противоположное А. Пусть k – любое из чисел 0,1,2,…,n. Обозначим вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успехов наступит k раз. Справедлива формула Бернулли: . Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза? Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна ½ , так что q=1-p=1|2. Отсюда 31. Выведите формулу для вероятностиk успехов в серииn испытаний по схеме Бернулли. Когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A; }. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P( )=1-q=p . Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов А и . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз. Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А –как неуспех. Наша цель – найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B. Событие В представляется в виде суммы ряда событий – вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть . Число всех вариантов равно, очевидно, , а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна . Отсюда вероятность события В равна . Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его .Итак, . |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 541. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |