Упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему? 

События А₁, А₂….Аn являются независимыми если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В); Р(АС)=Р(А)*Р(С); Р(СВ)=Р(С)*Р(В) в системе

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С) 

Все три события не будут независимы так как при событие С зависит от А и В:

Если А и В произошли то Р(С)=1, если А и В не произошли Р(С)=1, а если А произошло а В нет и наоборот Р(С)=0.Поэтому справедливо Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)= 1/2*1/2*1=1/4

а неР(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С) 

18. Как соотносятся понятия независимые события А и В и несовместные события А и В? Следует ли из независимости событий А,В,С независимость событий АВ и ? Почему?

Если события независимы, то вероятность их осуществления не меняется при наступлении любого количества из них. Если же события несовместны, то наступление одного из них исключает наступление второго. В данном примере надо найти что АВ и  независимы,то есть .

АB=AB* =AB(C+ )=ABC+AB  Из независимости:

P(AB)=P(ABC)+P(AB )=P(AB)P(C)+P(AB )

Р(АВ )=Р(АВ)-Р(АВ)Р(С)=Р(АВ)(1-Р(С))=Р(АВ)*Р( )

19. События А и В независимы, события А и С также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.

В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=

Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С)-?

+

Р(АВ)+Р(АС)=Р(А)*Р(В)+Р(А)*Р(С)=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=Р(А)*Р(В+С)( из несовместности) .ч.т.д.

20.События А и независимы, события А и  также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.

В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=

Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С) - ?

1. из того, что А и  незав è А и В независимы по теореме.

2. из того, что А и  незав è А и С незав

Р(А)=Р(А+АВ)=Р(А)+Р(АВ-т.к. незав)=Р(А)*Р()+Р(АВ)

Р(АВ)=Р(А)-Р(А) Р()=Р(А)*Р(В), ч.т.д

Р(А(В+С)=Р(АВ+АС)=(А и С несовм)=Р(АВ)+Р(АС)=(А и В –независ, А и С-независ)= Р(А)*Р(В)+Р(А)*(Р(С))=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=(В и С-несовм)=Р(А)*(Р(В+С)), ч.т.д.

21.Как определяется независимость событий А₁,А₂,……,А_n , в случае если n>2? Является ли равенство Р(А₁А₂А₃)=Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) достаточным для независимости событий А_1,А_2,А₃? Ответ обоснуйте

События А₁,А₂,……,А_n называются независимыми в сов-ти, если для любого подмножества номеро/индексов:

 k≤n, выполняется:

Р(А_i1A_i2…A_ik) =Р(А_i1)…Р(A_ik), либо вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Для независимости 3-х событий необходимо выполнить след. равенства.

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Р(АС)=Р(А)Р(С)

Р(ВС)=Р(В)Р(С)

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

Является достаточным, т.к. из равенства следует что P(Ai1,…,Aik)=P(Ai1)*P(Ai2,…,Aik) и т.д.

22. Имеется две игральные кости: одна-симметричная, вторая-несимметричная. Пусть р-вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, р=1/6.

А-несимметр. кость

В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке AB? в треугольнике ABC?  

Геометрический подход заключается на предположении, что попадание каждой точки в геометрическом множестве( ), а в какое-то подмножество А . Вероятность Р(А) пропорциональна мере (длин, площади и т.д.) множества А, т.е.   Р(А)= с (А) ), где (А)-мера множества А, а с=const. Т.к. P( )=1, то с = 1/ ( ), так что Р(А)= .

 1)  - АВ, F-отрезок СD,    СD АВ.  - длина,  (CD)=d-c,  (BA)=b-a, значит      

 Р(А)= .

2) -треугольник АВС, F-фигура . (F)=площадь F, ( )-площадь АВС. Р(F)=площадь F/ площадь ABC.

24.  В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно