Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

По схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов: k=np+p.

Мат. ожидания: так как схему Бернулли можно представить как биноминальное распределение M(x)=np   

np+p-np=p Следовательно, в схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов может отличаться от мат. ожидания на число р - вероятность успеха и известно, что p+q=1, p=1-q p<1. А значит отличаться на 2 не может.

35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса ϕ (x) и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа.Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна

36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа Φ(x) . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раза приблизительно равно

Эта формула дает хорошее приближение при больших n

37. Укажите выражение для функции Лапласа Ф(x). Докажите нечётность функции Ф(x) и нарисуйте график y=Ф(x). Чему равно Ф(12)?

Функция: Ф(x) =

Доказ-во Ф(-x) = -Ф(x): запишем выражение Ф(-x) =  и выполним замену z = -t, dz = -dt, при этом нижний предел интегрирования не изменится, а верхний станет равным x. Таким образом, Ф(-x) = = -Ф(x), ч.т.д.

График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и 0,5.

Ф(-12) = -0,5.

 

Хi	1	4	5	7
Pi	0,4	0,1	0,3	0,2

 

 

Используя интегральную приближённую формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события А от вероятности p наступления A в одном опыте.

В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного e>0 оценим вероятность события , где k – число успехов в n опытах. Это неравенство эквивалентно |k-np|£en, т.е. -en £ k-np £ en или np-en £ k £ np+en. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k₁ £ k £ k₂, где k₁ = np-en, k₂ = np+en. Применяя интегральную приближённую формулу Лапласа, получим: P( » . С учётом нечётности функции Лапласа получаем приближённое равенство P( » 2Ф( . Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ.

Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

При n®¥, p®0 b, а величина l = np остаётся постоянной .

Док-во: имеем: , и так как p=l/n, то . Выражение  - это произведение k множителей, стремящихся к 1; поэтому и всё произведение стремится к 1. Выражение  стремится к 1. Что касается выражения , то его можно записать в виде . Замечая, что выражение в квадратных скобках имеет пределом число , получим окончательно: , где x®1. Отсюда тотчас же следует формула, указанная в теореме.