Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по формуле Бернулли.

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в испытаниях» имеет вероятность , 1 успех — вероятность и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком достигается максимум ?

Чтобы выяснить это, сравним отношение и с единицей.

Видим, что

(a)

при , то есть при ;

(b)

при , то есть при ;

(c)

при , что возможно лишь если — целое число.

Рассмотрим два случая: и .

В первом случае пусть . Из полученных выше неравенств сразу следует, что

Во втором случае пусть (целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее ). Из неравенств (a),(b) следует, что

Действительно, неравенство , например, следует из (b), примененного для .

Видим, что в зависимости от того, является число целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов и , либо одно «наиболее вероятное» число успехов .

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 11.

В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха наиболее вероятным числом успехов является

a) единственное число , если число не целое;

б) два числа и , если число целое.

33. Пусть - вероятностьk успехов в серииnнезависимых испытаний с вероятностью успехаpв каждом испытании. При какомk вероятность  достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ?

Рассмотрим два соседних числа  и . Между ними имеет место одно из соотношений: (меньше, равно или больше) или, что эквивалентно, . Подставляя вместо числителя и знаменателя их выражения по формулам ,  или учитывая, что  , получим соотношения  или . Собирая все слагаемые с множителем k и учитывая , что p+q=1 , получим эквивалентные соотношения . Обозначим число np+p через . Тогда перепишется : .

Таким образом, для всех значений k меньших чем справедливо неравенство ,для ( это возможно только в том случае, когда  - целое число) имеет место равенство ,наконец, при выполняется неравенство .Тем самым при значениях функция  возрастает, а при значениях  убывает. Следовательно, если число  не является целым, то функция имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к  слева целом значении k , т.е. при таком целом  , которое заключено между -1 и :

 np-q< <np+p, =[np+p].

Если же  - целое число, то два равных между собой максимума достигается при  и .

Если число не является целым, то наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к  слева целому числу. В случае когда  есть целое число, наиболее вероятное число успехов имеет два значения: -1 и