Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по формуле Бернулли.
По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в испытаниях» имеет вероятность , 1 успех — вероятность и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком достигается максимум ? Чтобы выяснить это, сравним отношение и с единицей. Видим, что (a) при , то есть при ; (b) при , то есть при ; (c) при , что возможно лишь если — целое число. Рассмотрим два случая: и . В первом случае пусть . Из полученных выше неравенств сразу следует, что Во втором случае пусть (целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее ). Из неравенств (a),(b) следует, что Действительно, неравенство , например, следует из (b), примененного для . Видим, что в зависимости от того, является число целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов и , либо одно «наиболее вероятное» число успехов . Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы. Теорема 11. В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха наиболее вероятным числом успехов является a) единственное число , если число не целое; б) два числа и , если число целое. 33. Пусть - вероятностьk успехов в серииnнезависимых испытаний с вероятностью успехаpв каждом испытании. При какомk вероятность достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ? Рассмотрим два соседних числа и . Между ними имеет место одно из соотношений: (меньше, равно или больше) или, что эквивалентно, . Подставляя вместо числителя и знаменателя их выражения по формулам , или учитывая, что , получим соотношения или . Собирая все слагаемые с множителем k и учитывая , что p+q=1 , получим эквивалентные соотношения . Обозначим число np+p через . Тогда перепишется : . Таким образом, для всех значений k меньших чем справедливо неравенство ,для ( это возможно только в том случае, когда - целое число) имеет место равенство ,наконец, при выполняется неравенство .Тем самым при значениях функция возрастает, а при значениях убывает. Следовательно, если число не является целым, то функция имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к слева целом значении k , т.е. при таком целом , которое заключено между -1 и : np-q< <np+p, =[np+p]. Если же - целое число, то два равных между собой максимума достигается при и . Если число не является целым, то наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к слева целому числу. В случае когда есть целое число, наиболее вероятное число успехов имеет два значения: -1 и |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 479. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |