Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – множество точек плоскости, равноудалённых от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению, MF=MN.

 - каноническое ур-е параболы

Эллипс.

 Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояния от которых до 2-х данных точек, наз. фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

MF₁+MF₂=2a

Можно привести к виду : a²-c²= b²; можно ввести обозначения, т к по определению a>c.

Найдём точки пересечен. эллипса с координатн. осями. Для этого полагаем:

 x=0,  , y=±b

 y=0,   x=±a.

Величина b наз. малой полуосью эллипса, а- большой полуосью.

Отношение с/a=E называется эксцентриситетом, т к с<0, E<1.

В частности, когда полуоси эллипса равны a=b=R

x²+y²=R² - частный случай эллипса.

Гипербола

Гиперболой наз-ся множество точек плоскости, разность расстояний от которых, взятая по модулю до 2 данных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

                            M(x;y)

                                           y                   

      F1(-C;0)    F2(c;0)

После упрощения это уравнение принимает вид: - каноническое уравнение гиперболы, где введено обозначение (c>a)

Найдем точки пересечения гиперболы с координатными осями. Предположим:

y=o

Точки пересечения с осью Оу нет.

                  -а     а

2 оси симметрии.

Одна пересекает, другая нет. Ось симметрии, пересекающая гиперболу, наз-ся её действиетльной осью. В нашем случае, это ось Ох, ось Оу- мнимая ось.