Понятие базиса. Координаты.

Базисом в пространстве называют любые 3 некомпланарных вектора. Из следствия (каковы бы на были 3 некомпланарных вектора  любой вектор  пространства может быть представлен в виде  (2), где α, β и γ – некоторые числа) вытекает, что любой вектор пространства может быть представлен в виде суммы произведений некоторых чисел на векторы базиса. Числа α, β и γ в равенстве (2) называются координатами вектора  в базисе .

Очевидно, что любая пара некомпланарных векторов образует базис на плоскости. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации 2-х базисных векторов. Можно показать, что любой вектор может быть разложен по данному базису единственным образом.

Система координат (СК). Считается, что в пространстве задана СК, если задан базис и некоторая точка, которая называется началом координат. СК позволяет задать координаты любой точки пространства. Координаты точки определяются как координаты вектора, проведённого из начала координат в данную точку.

Проекцией вектора  на прямую в пространстве называется отрезок АВ на этой прямой, где точка А₁ является проекцией точки А на эту прямую, а точка В₁ – проекцией на неё точки В.

Осью будем называть направленную прямую. Проекция вектора  на ось = произведению длины этого вектора  на cos угла, образованного данным вектором и осью.

Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов называется число,равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

- проекция вектора b на направление вектора a, тогда

Таким образом, скалярное произведение 2х векторов = произведению модуля одного из них на проекцию другого на направление первого.

Геометрические св-ва:

1) необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство 0 их скалярного произведения. Это вытекает из того, что cos90^o=0. В дальнейшем под углом между векторами будем понимать меньший из углов между ними

2) 2 вектора составляют острый (тупой) угол, когда их скалярное произведение положительное (отриц.). Эти утверждения следуют из того, что cos острого угла положителен, а тупого – отрицателен.

Алгебраические св-ва:      

1.

2.  множитель перед любым вектором можно вынести

3.

4. . cos0=1  только в том случае, когда

Физический смысл: . Работа, совершаемая силой F при перемещении l = скалярному произведению

Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.

Пусть вектор ,

. Тогда скалярное произведение (a,b)

Скалярные произведения различных векторов друг на друга = 0.

Т. к. , то, согласно свойству 4 ( ) . В результате имеем:

- скалярное произведение 2х векторов = сумме произведений их соответствующих декартовых координат.