Векторное произведение. Его свойства.

правая –-- левая. с=[a,b] – векторное произведение.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом называется правой, если при наблюдении с конца вектора с кратчайший поворот от а к b осуществляется против часовой стрелки.

Если орты декартовой системы координат I, j, k образуют правую тройку, то эта сист. координат называется правой, если левую – то левой.

Векторным произведением двух векторов называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1) |c|=|a|∙|b|∙sinj, где j - угол между векторами a и b.

2) вектор c^a и c^b (вектор с^плоскости, где лежат a и b).

3) векторы a, b, c образуют правую тройку.

 Модуль векторного произведения = площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Алгебраические свойства векторного произведения:

1)

2)

3)

4) , т. к. sin0=0

Утверждение: необходимым и достаточным условием коллинеарности 2х векторов является равенство 0 их векторного произведения. Это следует из того, что sin0=0.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.

Пусть вектор , , тогда векторное произведение равно:

Более удобная для запоминания форма:

В справедливости последнего выражения можно убедиться, разлагая его по элементам первой строки.

Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.

Смешанное произведение . Геометрический смысл:

пусть векторы некомпланарны, проведём эти векторы из одной точки, построим на них параллелепипед, найдём его объём. Векторы образуют правую тройку.

V=S_осн∙Н .

Если бы векторы образовали левую тройку, то мы получили бы ,

Смешанное произведение 3х векторов = объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Оно положительно, если тройка правая и отрицательно, если эта тройка левая.

Свойства смешанного произведения:

1) - в смешанном произведении можно менять порядок скалярного и векторного произведения. Это можно проследить из геометрического смысла выражений.

2) смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке векторов-сомножителей.

3) смешанное произведение изменяет свой знак на противоположный при перемене мест 2х рядом стоящих сомножителей. . Это свойство вытекает из того, что векторное произведение изменяет свой знак при перемене мест сомножителей.

Необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Выражение в декартовых координатах.

Пусть вектора имеют следующие координаты:

, ,

Мы знаем, что векторное произведение имеет следующие координаты: . Пусть . По определению смешанного произведения, , следовательно, . Для запоминания более удобно следующее выражение:

В справедливости последнего выражения можно убедиться, разлагая определитель по элементам 3-й строки.

Из вышесказанного следует, что условием компланарности 3х векторов является равенство нулю определителя, составленного из их декартовых координат.