Основные теоремы о пределах

В следующих теоремах мы не будем указывать, к чему → х, предполагая, что либо х→а либо х→∞.

Т-ма1: Предел алгебраич. суммы конечного числа ф-ций = алгеб. сумме их пределов: lim (f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x)) = lim f₁(x) + lim f₂(x) + … + lim f_n(x);

Т-ма 2. Предел произведения конечного числа ф-ций = произведению их пределов:

lim (f₁(x) * f₂(x) * … *f_n(x)) = lim f₁(x) * lim f₂(x) *… * lim f_n(x);

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim C f(x)= C limf(x); C=const.

Предел частного 2-х ф-ций = частному их пределов, если предел знаменателя отличен от 0:

при условии, что lim g(x) ≠0.

Если для 2-х ф-ций выпол-ся нера-во f(x)>g(x), то для их пределов справедливо нера-во: lim f(x) ≥ lim g(x)

Если переменная величина возрастающая и она ограничена, то эта переменная величина имеет предел.

Первый замечательный предел

Ф-ция  при x→0 имеет предел =1, т.е.  

Доказательство:

Рассморим окружность единичного радиуса: OA=OB=1, S_{тр. ОBА}=1/2 ОА*BD=1/2OA*sinx*OB=1/2sinx

S_{тр. ОСА}=1/2 ОА*СА = ½ tg x

S_{сект.ОВА}= 1/2ОА*х=1/2x

Из чертежа видно, что S_{тр. OBA}<S _{сект.ОВА}<S_тр.ОСА;

1/2 sin x<1/2 х<1/2tgx;

 sin x<х<tgx

Разделим все части неравенства на sinx:

Заменяем выражения на обратные

Перейдем к пределу при х→0

Предел переменной  заключён м-ду пределами переменных =1. Это возможно если . (док-во для случая x>0)

Однако, т.к. cos(-x)=cosx и => доказанный предел будет справедлив также и для отриц. х.

График ф-ции  имеет вид:

При х=0 ф-ция не определена, но пределы в точке 0 слева и справа совпадают. Они = 1.

Второй замечательный предел

Т-ма: Предел переменной величины (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n, сущ. и равен иррациональному числу е≈2,71…

(1)

Определение. Показательную ф-цию e^x наз. экспонентой и часто обозначают exp(x)= e^x

log_e наз. натуральным log и обозн. lnx=log_ex.

Установим связь между натур. и десят. log. Для этого воспользуемся равенством: пусть y= lgx=log₁₀x – это значит, что x=10^у. Прологарифмируем обе части по основанию е.

ln x = ln 10^y= y ln10

ln x= 1/M lg x

Можно показ., что предел (1) справедлив не только для послед-тей, но и для ф-ций, а именно

ln x = ln 10* lg x

Число  называется модулем перехода от натур. log к десятичным:

lg x = M ln x

Сделаем замену переменных x=1/y, тогда предел примет вид y=1/x при х→∞, y→0; последний предел может быть записан в виде:

Непрерывность ф-ции

Пусть ф-ция y=f(x) определена в некот. окрестности точки х₀, включая саму точку х₀.

Пусть f(x₀)=у₀, дадим переменной х приращение Δх, тогда переменная y получит приращение

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной при x=x₀ (или в точке x₀ ), если она определена в некот. окрестности точки x₀, вкл. саму точку x₀ и если сущ. предел:

Другими словами, ф-ция непрерывна, если малым приращениям аргумента Δх соответ. малое приращение ф-ции Δу.

Последнее равенство можно переписать в сл. виде:

 или

 обозначим х= х₀+ Δх, тогда при Δх→0 х→х₀, тогда имеем:

Т.е., чтобы перейти к пределу непрерыв. ф-ции f(x) при х→х₀, достаточно аргумент этой ф-ции заменить на х₀. Учитывая очевидное равенство , можем записать:

Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком непрерывной ф-ции, т. е., если ф-ция непрерывна, то знаки ф-ции и предела можно менять местами.

Если для некот. ф-ции не выполняется хотя бы 1 из требований непрерывности в некот. точке х₀, то ф-ция наз. разрывной в этой точке, а х₀ наз. точкой ее разрыва.

Разрывность ф-ции графически означ. разрыв ее графика.

Классификация точек разрыв

Определение. Если ф-ция f(x) такова, что сущ. конечные пределы и , но либо ф-ция f(x) не определена в точке х₀, либо не все 3 числа f(x₀), f(x₀-0), f(x₀+0) = друг другу, то точка х₀ - точка разрыва 1 рода ф-ции f(x).

В частности, если пределы слева и справа в этой точке совпадают f(x₀-0)=f(x₀+0), но ф-ция в точке х₀ не определена, то точка х₀ называется устранимой точкой разрыва (её можно устранить, положив ; после чего, определенная т.о. ф-ция будет непрерывной)

Определение. Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1-го рода называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относят точки ∞го разрыва.

Используя св-ва пределов можно док-ть следующие утверждения: 

1. Сумма 2-ых непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция;

2. Произведение 2-х непрерывных ф-ций – ф –ция непрерывная;

3. Частное 2-х непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция, если знаменатель не обращается в 0.

4. Если ф-ция u=u(x) непрерывна в точке х₀, а ф-ция у=у(х) непрерывная в точке u₀=u(x₀), то сложная ф-ция y(u(x)) – непрерывная в точке х₀

Используя эти утверждения можно док-ть сл. теорему:

Всякая элементарная ф-ция непрерывна в любой точке, в кот. она определена.