Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.

Переменная величина х стремиться к ∞, если для любого сколько угодно большого числа M>0 можно указать такое значение этой переменной величины, что для всех последующих значений переменной величины будет выполняться неравенство |х|>М. Обозначают limx=∞. Если переменная величина х стремится к бесконечности, принимает только + значения (только -), то пишут limx=+∞ (limx=-∞).

Если переменная величина →∞, то она называется бесконечно большой.

Если функция y=f(x) стремится к пределу b, при х→а так, что х при этом принимает только значения меньшие, чем а, то число b₁ наз-ся пределом функции f(x) при x→a слева обознач. . Если f(x) стремится к пределу b₂ (x→a-0), что х при этом принимает значение только больше, чем а, то число b₂ наз-ся пределом ф-ции f(x) справа точки а и обозначается .  

Можно показать, что если для ф-ции f(x) в точке а оба предела слева и справа существуют и равны друг другу , то предел слева и справа – односторонние пределы. В этом случае существует предел ф-ции f(x) при х→a= b в смысле, определённо ранее.

Функция f(x) стремится к бесконечности, т.е. яв-ся бесконечно большой при х→а, если для любого сколько угодно большого числа М>0 можно указать число ∆ такое, что для всех знач. х удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ будет выполняться условие ׀f(x)׀>M.

Если при этом f(x) принимает только положительные значения, то пишут , если только отриц., то

Функция f(х) называется бесконечно малой при х→а либо при х→∞, если

Теорема. Если функция у=f(х) может быть представлена в виде суммы бесконечно малой функции α(х) и числа b, то limf(x)=b. Справедливо также обратное утверждение: если limf(x)=b, то функция f(x) может быть представлена в виде f(x)=α(x)+b, где α(х) - бесконечно малая функция. Это утверждение справедливо как при х→а, так и при х→∞.

Доказательство для случая х→а.

Пусть f(x)=α(x)+b, где (1), тогда, по определению предела, для любого сколь угодно малого Е>0 можно указать число δ>0 такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ будет выполняться неравенство |α(x)-0|<E или |α(x)|<E. Но, согласно равенству (1), α(x)=f(x)-b, тогда из предыдущего нерав-ва имеем: |f(x)-b|<E, а это означает, что . Аналогично доказывается 2 часть теоремы.

Теорема. Если функция α(х) →0 при х→а, т.е. яв-ся бесконечно малой, но не обращается в 0 при х=а, то функция f(x)=1/ α(х)→∞ при х→а, т.е яв-ся бесконечно большой.

Теорема. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малое.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малым.

Теорема. Произведение бесконечно малой функции α(х) на ограниченную f(х) есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малое.

Теорема. Частное α(х)/f(х) от деления бесконечно малой на функцию f(х) предел которой отличен от 0 есть бесконечно малое.