Однородные системы уравнений.

Система линейных уравнений наз. однородной, если все ее свободные члены =0. Имеет вид:

Т.к. расшир. матрица однородной системы отличается от основной только наличием дополнит-го нулевого столбца, то все не  миноры расшир. матрицы содерж-ся в основной матр. Поэтому ранги основной и расширенной матрицы однородной системы всегда совпадают => однородная система всегда совместна. Отметим также, что любая однородная система имеет решения: х₁=0, х₂=0, …, х_n=0. Такое решение наз-ся нулевым, или тривиальным. Кроме этого, решенная однородная система может иметь другие, нетривиальные решения. На основании вышеизложенного можно заключить, что если у однор. системы ранг матрицы равен числу неизвестных, то эта система имеет единственное тривиальное решение. Чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных. В частности, однородная система из n уравнений относительно n неизв. имеет единственное тривиальное решение, когда её определитель отличен от нуля. Условием наличия нетривиальных решений у такой системы явл-ся равенство нулю ее определителя.

Линейные операции над векторами

Суммой  векторов  наз-ся вектор , проведенный из начала вектора  в конец вектора при условии, что вектор своим началом приложен к концу вектора .

Cв-ва:

1.  

2.

3. Существует единственный нулевой вектор, такой, что для любого вектора  выполняется равенство:

Нулевой вектор- это вектор, у которого начало и конец совпадают.

4. Для каждого вектора  существует противоположный ему вектор , такой, что .

Сумма произвольного конечного числа векторов может быть найдена по правилу замыкания ломаной.

Разностью векторов  наз-ся вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Произведение вектора  на число α, или числа α на , наз-ся вектор , имеющий длину равную произведению , коллинеарный вектору , направленный одинаково с вектором , если α>0, и противоположно вектору , если α<0.

Свойства:

1.

2.

3.

Теорема. Вектора  коллинеарные тогда и только тогда, когда существует число λ такое, что вектор .

λ>0 – одинаково направленные

λ<0 – противоположно направленные.