Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса , определенный относительно центра поля. Так как , то векторы и перпендикулярны посто­янному вектору  и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему. Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по век­тору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY. Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме :   

                 (4.8)

Координата  является циклической. Сопряженный ей обобщен­ный импульс сохраняется:

         (4.9)

Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки

,        (3.34)

 Этот обобщенный импульс равен проек­ции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем счи­тать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному напра­влению вектора момента импульса. В этом случае всегда и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол  монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площа­дей. Рассмотрим два положения материальной точки на траекто­рии в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого секто­ра, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участ­ком траектории, равна

.       (4.10)

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле

                             (4.11)                      

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точ­ки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохране­ния момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия матери­альной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме

                (4.12)

Из выражения (4.9) найдем производную  и подставим ее в фор­мулу (4.12). В результате получим

             (4.13)

где введено понятие эффективной потенциальной энергии , равной

                    (4.14)

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в по­тенциальном поле с эффективной потенциальной энергией . Из соотношения (4.13) находим, что

                  (4.15)

Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, полу­чим неявную зависимость :

                     (4.16)

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство ). Исследование этого неравен­ства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области про­странства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии  и моменте импульса . Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости и на том же графике провести прямую . Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства выполняются для значений радиуса в пределах .  Следовательно, при обра­щении вокруг центра поля материальная точка будет то прибли­жаться к центру на расстояние , то удаляться от него на рассто­яние .

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные  и  известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим

           (4.17)

Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:

              ( 4.18)

Интеграл можно вычислить только после задания потенциаль­ной энергии . Если положить , то изменение знака  происходит одновременно с измене­нием знака . Знак  меняется в точке, где и где, следова­тельно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля. Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля на­зываются точками поворота. Таким образом при начало отсчета угла  выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота. Поскольку в этом случае одинаковым значени­ям , лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория матери­альной точки симметрична относительно направления на точку поворота. Если при движении материальная точка уходит на бес­конечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного ме­жду положениями и .

Рис. 4.3                                                      Рис. 4.4

Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол  между положениями и на рис. 4.4 дается формулой

       (4.19)

Если при сложении нескольких  получится угол, кратный , то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме

 (4.20)

где — целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами и .

Задача Кеплера

Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потен­циальная энергия равна                (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле               (4,22), где — единичный вектор, направленный по радиусу. Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус - полю при­тяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обрат­но пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечн. или сферически симметрич­н. заряда.

Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). За­пишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную  =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед инте­гралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда ин­теграл имеет вид

               (4.23)   Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем заме­ны  и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме      (4.24)

где введены две новые постоянные: параметр и эксцентриситет . Они равны:

; (4.25)   Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из кони­ческих сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало поляр­ной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета . При уравнение зада­ет гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки:                     (4.26)

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При  второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материаль­ной точки равна ее кинетической энергии . Если , то эксцентриситет  и уравнение (4.24) задает пара­болу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконеч­ность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии  материальной точки ее эксцентри­ситет . Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс. Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то по­лученные для поля притяжения с  результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы. Так как масса Солнца  >> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из з-на всемирного тяготения имеем . Выразим измеряе­мые астрономами величины ^— большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что

;              (4.27)

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем инте­грирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обра­щения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором ма­териальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для  и  из (4.27), формулу  для площади эллипса и закон площадей (4.11), получим

             (4.28)  Подставляя в (4.28) значения  и  из формул (4.27), найдем период обращения:    (4.29)

Для планет Солнечной системы отношение . Lля них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты. Эти рез-ты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером. За­коны Кеплера

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов ко­торого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.

Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля оттал­кивания, когда . :   (4.30) и  даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой и .