Задача двух тел. Приведенная масса

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих толь­ко между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодей­ствия может зависеть только от расстояния между точками. Функ­ция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

           (4.1)

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции являет­ся инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в систе­ме отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

                   (4.2)

Введем радиус-вектор , направленный от первой материальной точки ко второй:

                                           (4.3)

С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы  и  через вектор :

 ;                        (4.4)

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины век­тора . Выражая с помощью формул (4.4) скорости  и  через вектор , кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной матери­альной точки массой

                  (4.5)

Выраженная через радиус-вектор  функция Лагранжа (4.1) запи­шется в форме

               (4.6)

Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной мате­риальной точки массы , движущейся в потенциальном поле, за­висящем только от расстояния до начала координат. Такое потен­циальное поле называется центральным полем. Сила, действую­щая в центральном поле на материальную точку, направлена по прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:

          (4.7)

Масса , определенная согласно (4.5), называется приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).

Если масса одной материальной точки, например , много больше массы другой материальной точки, то из формул (4.4) и (4.5) получим, что приближенно , , , то есть центр инерции системы двух тел совпадает с более массивным те­лом, а приведенная масса равна массе менее массивного тела. В этом случае задача двух тел сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле, создаваемом другим телом.

Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из пла­нет Солнечной системы, то в первом приближении можно прене­бречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы. В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение ма­териальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодейству­ющих между собой. Эта задача не может быть сведена к квадра­турам и решается приближенными методами.