Вынужденные одномерные колебания

Часто механические системы, совершающие малые колебания, подвергаются воздействию внешней вынуждающей силы, завися­щей от времени. Пусть потенциальная энергия одномерной систе­мы в поле вынуждающей силы равна . Разложим ее в ряд вблизи положения равновесия, ограничиваясь приближением первого порядка

 (5.21)

где введено обозначение   для производной от потенциаль­ной энергии по координате, вычисленной в положении равновесия. Слагаемое не зависит от обобщенных координат и обоб­щенных скоростей и поэтому не дает вклада в уравнения Лагранжа. Отбросим его и запишем функцию Лагранжа механической системы, находящейся в поле внешней вынуждающей силы:

(5.22)

При подстановке ее в уравнение (5.7) получим уравнение вынужденных колебаний                 (5.23)

Уравнение (5.23) — это уже неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение дается суммой общего решения однород­ного уравнения (5.10) и частного решения уравнения (5.23):                      (5.24)

Наиболее интересным случаем вынужденных колебаний является случай, когда внешняя обобщенная сила представляет собой гар­моническую функцию  

            (5.25)

где  — действительная постоянная. Для гармонической выну­ждающей силы уравнение (5.23) удобно записать и решать в ком­плексной форме:

 (5.26)

В правой части уравнения (5.26) стоит экспонента. Поэтому его частное решение  также ищем в форме экспоненты . Подставляя  в такой форме в уравнение (5.26), находим постоянную :

           (5.27)

Представим постоянную в экспоненциальной форме , где

; (5.28)

Тогда действительная часть общего решения уравнения(5.23) с гармонической вынуждающей силой (5.25) запишется в виде

 (5.29)

В отсутствие трения  вынужденные колебания (5.29) являются суммой свободных колебаний с частотой  и вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы и амплитудой, зависящей от частоты:

(5.30)

Фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний растет при . Если , то наступает резонанс и решение (5.30) не имеет смысла. В этом случае частное решение уравнения (5.26) необхо­димо искать в виде Для постоянной получаем значение             (5.31)

Уравнение малых колебаний в случае резонанса принимает вид

*.        (5.32)

При резонансе фаза вынужденных колебаний на  отличается от фазы вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колеба­ний монотонно растет с течением времени, и колебания быстро перестают быть малыми.

Рассмотрим поведение системы вблизи резонанса, когда частота вынуждающей силы мало отличается от частоты свободных коле­баний. Положим, что , где . Выражение (5.30), записанное в комплексной форме, можно привести к виду                         (5.33)

В выражении (5.33) нужно учитывать только действительную часть, которая равна

, (5.34)       где  

         (5.35)

Уравнение (5.34) можно интерпретировать как уравнение колеба­ний с часютой , амплитуда  и начальная фаза  которых медленно меняются с частотой . Как видно из (5.35), амплитуда заключена в пределах

             (5.36)

Если  и  близки друг к другу, то временами колебания будут по­чти прекращаться, а после опять возобновляться. Такое поведение системы называют биениями.

Перейдем к общему случаю, когда присутствует трение При наличии трения первое слагаемое в (5.29) быстро обращается в нуль за счет экспоненциального множителя. В установившемся режиме остается только второе слагаемое. Вынужденные коле­бания происходят с частотой вынуждающей силы, но отстают от нее по фазе. Начальная фаза вынужденных колебаний, как вид­но из (5.27) и (5.28), лежит в пределах . При силь­ном трении, когда , амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает с ростом частоты вынуждающей силы. Если трение мало, то амплитуда максимальна при резонансной частоте .

Рассмотрим отдельно случай, когда трение очень мало: . Тогда в первом приближении по  резонансная частота совпада­ет с частотой . Вблизи резонанса положим ,где . В первом приближении по  и для амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний получим

;  (5.37)

При резонансе, как и в отсутствие трения, колебания отстают от вынуждающей силы на . Однако амплитуда остается при этом ограниченной. Как было показано ранее, энергия колебаний про­порциональна квадрату амплитуды. График квадрата амплитуды в зависимости от  приведен на рис. 5.1. Это — типичная ре­зонансная кривая. Если обозначить через частоту, для кото­рой квадрат амплитуды уменьшается в два раза, то находим, что . Для характеристики систем, совершающих вынужденные колебания, вводится понятие добротности. Добротность — это отношение максимальной амплитуды для резонансной частоты к амплитуде, отвечающей близкой к нулю частоте вынуждающей си­лы. Используя выражение (5.28) для амплитуды и считая  малой величиной, найдем для добротности  значение:

    (5.38)

то есть чем выше добротность, тем меньше полуширина  резонансной кривой и тем выше поднимается ее пик.