Классическая теория рассеяния, формула Резерфорда.

Рассм. задачу об отклонении однородного пучка частиц, падающих на центр поля из бесконечности и уходящих на беско­нечность после взаимодействия с полем. Такая постановка задачи характерна для экспериментов по рассеянию частиц в ядерной физике и физике элементарных частиц. Некоторые аспекты таких опытов можно анализировать с помощью классической механики. Схема опыта по рассеянию частиц приведена на рис.

Все частицы потока, падающего на рассеивающий центр, имеют вдали от центра одинаковую скорость  и летят по параллельным траекториям. Расстояние от этой траектории до параллельной ей прямой, проходящей через центр поля, называется прицельным расстоянием. Обозначим его через . Введем плотность потока частиц  как отношение числа частиц , прошедших через пло­щадку , расположенную перпендикулярно потоку, к величине этой площадки:            (4.31)

Поток формируется таким образом, что плотность постоянна по всему поперечному сечению пучка. Рассеянные частицы реги­стрируются детектором. На опыте измеряется количество частиц , отклоненных на различные углы и попадающих в интер­вал углов между  и . Для того чтобы дать интерпретацию опыта, не зависящую от плотности потока падающих частиц, вво­дят величину :                  (4.32)

Введенная таким образом величина  называется эффектив­ным сечением рассеяния. Размерность ее равна размерности пло­щади. Если считать, что между углом отклонения частицы и ее прицельным расстоянием существует однозначная зависимость, то эффективное сечение рассеяния равно площади кольца с радиуса­ми  и , проходя через которое на большом расстоянии от рассеивающего центра, частицы отклоняются в интервал углов ме­жду  и , то есть         (4.33)

Зависимость  может быть рассчитана, если известна потенци­альная энергия взаимодействия частиц с полем. Тогда эффектив­ное сечение рассеяния запишется в форме             (4.34)

Здесь берется абсолютное значение производной от  по , так как в большинстве случаев эта производная отрицательна. Эффектив­ное сечение рассеяния также выражают через элемент телесного утла , , заключенного между конусами с растворами  и . В этом случае имеем

; .    (4.35)

Найдем эффективное сечение рассеяния для поля отталкива­ния с потенциальной энергией . Это поле описывает взаимодействие одноименных точечных зарядов по закону Куло­на. На рис. 4.7 показана траектория заряда, налетающего на непо­движный рассеивающий центр. Уравнением траектории является гипербола, задаваемая формулой . На оси симметрии гипер­болы . Введем угол , отсчитываемый от оси симметрии до направления на бесконечно удаленную точку траектории. Зна­чение этого угла можно получить, устремляя к бесконечности в уравнении гиперболы (4.30), что дает                        (4.36)

Из рис находим, что . Остается выразить эксцен­триситет  через прицельное расстояние , чтобы получить зависи­мость и рассчитать эффективное сечение. Для этого запишем выражение для энергии и момента импульса налетающей частицы на бесконечно далеком расстоянии от рассеивающего центра:

;               (4.37)

В результате для эксцентриситета получим     (4.38)

Подставляя полученное значение в формулу (4.36) и учитывая связь и , находим зависимость :           (4.39)

Теперь по формуле (4.34) находим эффективное сечение рассея­ния:

(4.40)

Первым опытом, в котором измерялось рассеяние частиц, был опыт Резерфорда по рассеянию  -частиц на ядрах атомов золо­та. Формула (4.40) дает эффективное сечение рассеяния для этого опыта и поэтому называется формулой Резерфорда.