Связь фундаментальных законов сохранения с симметриями пространства и времени

Как уже отмечалось, пространство в классической механике постулируется однородным и изотропным, а время — однородным. С этими свойствами симметрии пространства и времени в лагранжевом формализме связывают существование фундаментальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса для за­мкнутой системы материальных точек. Под замкнутой системой материальных точек понимается система, на которую не только не действуют внешние силы, но и в которой не происходит превра­щения механической энергии в другие виды энергии, например, в тепловую энергию или в энергию электромагнитного поля.

Для замкнутой механической системы вследствие однородно­сти времени все моменты времени одинаковы. Поэтому функция Лагранжа не должна явно зависеть от времени. В предыдущем па­раграфе было показано, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то механическая энергия сохраняется, то есть из однородности времени следует закон сохранения энергии для замкнутой механической системы.

/ Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

    (3.40)

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы. /

Вследствие однородности пространства для замкнутой механи­ческой системы все точки пространства равноправны. Поэтому ее функция Лагранжа не должна зависеть от положения механиче­ской системы в пространстве. Она может зависеть только от от­носительных расстояний между материальными точками системы. Положение механической системы как целого в пространстве мож­но задать с помощью координат ее центра инерции. Если выбрать обобщенные координаты так, чтобы три из них были координатами центра инерции механической системы, то вследствие однородно­сти пространства эти координаты будут циклическими. Обозначая координаты центра инерции как X,Y,Z, запишем согласно связи обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы:    (3-31)

сопряженные им сохраняющиеся обобщенные импульсы:

; ;      (3.44)

При смещении центра инерции координаты всех точек получают одинаковые приращения. Например, при смещении центра инер­ции вдоль оси ОХ на  получим , и, следовательно,

;           (3.45)

Обобщенный импульс  равен проекции импульса системы мате­риальных точек на ось ОХ. Аналогичные выводы можно сделать относительно обобщенных импульсов  и , то есть для замкну­той системы материальных точек сохраняются все три проекции импульса, и, следовательно, вектор импульса  замкнутой систе­мы материальных точек остается постоянным.

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы мате­риальных точек в лагранжевом формализме выводится из изо­тропности пространства. Вследствие изотропности пространства ориентация механической системы относительно пространства не должна влиять на ее механические свойства. Пусть одна из обоб­щенных координат выбрана так, что ее изменение приводит к повоpoтy всей механической системы вокруг некоторой оси на угол . Так как механическая система не может реагировать на ориента­цию в изотропном пространстве, то координата  будет цикличе­ской. Сопряженный ей обобщенный импульс сохранятся. Как было показано, сопряженный угловой координате обобщенный им­пульс равен проекции момента импульса механической системы на ось вращения. В изотропном пространстве для замкнутой системы материальных точек такой осью вращения может служить любая ось декартовой системы координат. Поэтому для нее сохраняются все три проекции момента импульса, то есть вектор момента им­пульса М замкнутой механической системы остается постоянным при ее движении.

В некоторых случаях отдельные фундаментальные законы со­хранения выполняются для систем материальных точек, взаимо­действующих с другими телами. Если внешнее поле обладает не­которыми свойствами симметрии, то им соответствуют законы со­хранения. Например, в центрально симметричном поле сохраняется момент импульса механической системы, определенный относительно центра симметрии поля Это следует из того, что повороты механической системы относительно оси, проходящей через центр симметрии поля, не влияют на движение механической системы.