Свободные одномерные колебания

Рассмотрим одномерную механическую систему, то есть меха­ническую систему с одной степенью свободы. Функция Лагранжа произвольной механической системы в обобщенных координатах дается формулой . В одномерном случае суммация в ней от­сутствует. Поэтому индексы можно опустить. В результате функ­ция Лагранжа запишется :      (5.1)

Пусть в положении  система имеет положение устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия механиче­ской системы минимальна. Условие мин.потенци­альной энергии: ;      (5.2)

Мы предполагаем, что вторая производная , обозначенная здесь буквой , в положении равновесия отлична от нуля. Если она =0, то колебания становятся нелинейными, или ан­гармоническими. Введем новую обобщенную координату  — отклонение от положения равновесия:  ,                        (5.3)

Разложим функции  и в ряд вблизи положения равно­весия и, считая эти отклонения малыми, ограничимся в разложе­нии нулевым приближением для и вторым приближением для . Кинетическая и потенциальная энергии в данном приближе­нии запишутся в форме

;    (5.4)

В разложении для потенциальной энергии уже учтены условия (5.2) и обозначения (5.3). В выражении для кинетической энергии введено обозначение и вследствие того, что обобщенная скорость также мала, в разложении  берется только нулевое приближение. Постоянная не сказывается на уравнениях движения. Поэтому положим ее =0. С точностью до членов второго порядка малости функция Лагранжа записывается в форме .   (5.5)

Ценность полученного результата заключается в том, что функ­ция Лагранжа любой одномерной механической системы, удовле­творяющей сформулированным выше условиям, в данном прибли­жении имеет вид (5.5). Индивидуальность механической системы проявляется только в значениях постоянных  и . Поэтому вся теория линейных колебаний является общей для любых систем, совершающих малые колебания.

Если в механической системе присутствует трение, то считает­ся, что его можно описать при помощи диссипативной функции Рэлея:

;       В диссипативной функции рассматривается такое же при­ближение, как и в кинетической энергии. В принятом приближе­нии для диссипативной функции имеем

;                   (5.6)

Запишем уравнения Лагранжа с диссипативной функцией в приближении малых колебаний. Для одномерной системы урав­нение Лагранжа имеет вид

               (5.7)

Подставляя в (5.7) функцию Лагранжа (5.5) и диссипативную функцию (5.6), приходим к дифференциальному уравнению

       (5.8)

Разделим это уравнение на  и введем обозначения:

;                      (5.9)

В результате получим линейное дифференциальное уравнение вто­рого порядка с постоянными коэффициентами, описывающее ма­лые свободные одномерные колебания при наличии трения:

             (5.10)

Решение ур-ия (5.10) ищем в форме . Характеристическое урав­нение имеет корни: ; .  (5.11)

Если , что отвечает сильному трению, то решение уравнения (5,10) записывается в экспоненциальной форме:

, для                         (5.12)

, для                    (5.13)

Здесь — произвольные постоянные. В обоих случаях абсо­лютная величина смещения х монотонно убывает с ростом време­ни, и, следовательно, механическая система приближается к по­ложению равновесия, не совершая колебаний. Если , что означает слабое трение, то решение уравнения (5.10) записывает­ся через тригонометрические функции. Введем обозначение   (5.14)

Общее решение можно записать в двух формах:

,               (5.15)

Переход от одной формы к другой осуществляется простыми три­гонометрическими преобразованиями. Два набора постоянных связаны соотношениями: ,                        (5.16)

В отсутствие трения, когда , решение имеет вид

 ,           (5-17)

Решение (5.17) описывает свободные малые колебания около поло­жения равновесия. Величина  называется частотой колебаний.

Частота определяется свойствами механической сисгемы и не зависит от начальных условий. Амплитуда колебаний  и начальная фаза  определяются начальными условиями. Энергия системы, совершающей колебания в отсуютвие трения, сохраняется и про­порциональна квадрату амплитуды:

       (5.18)

Уравнение малых колебаний часто удобно представлять в ком­плексной форме. Так как комплексное число , где  — комплексная амплитуда , по формулам Эйлера запи­сывается в виде

(5.19)

то решение (5.17) дается его действительной частью:

        (5.20)

Если над комплексными величинами производятся только линей­ные операции (сложение, вычитание, умножение на действительные величины, дифференцирование и интегрирование), то дей­ствия с действительной и комплексной частями комплексного чи­сла производятся независимо. В то же время иметь экспоненты в формулах удобнее, если выполняются операции дифференцирова­ния или интегрирования, так как при этих операциях экспонента не меняет своего вида. Поэтому во всех расчетах, где производят­ся только линейные операции, косинусы можно заменить на экс­поненты, опуская знак реальной части. Тогда в конце вычислений из полученного в комплексной форме результата необходимо взять только его действительную часть.

При наличии трения уравнения (5.15) описывают колебания, амплитуда которых уменьшается по экспоненциальному закону. Такие колебания называются затухающими колебаниями. Ско­рость убывания амплитуды определяется показателем . Как вид­но из формулы (5,14), трение также уменьшает частоту колебаний.