Функция Лагранжа в обобщенных координатах

Для того чтобы записать функцию Лагранжа в обобщенных координатах, необходимо пересчитать к ним потенциальную и ки­нетическую энергию механической системы. Если потенциаль­ная энергия задана как функция декартовых координат, то, за­меняя их на обобщенные с помощью преобразования [от декартовых координат к обобщенным координатам в векторной форме:      (2.2) ]

 (2.2), полу­чим потенциальную энергию как функцию обобщенных координат . Выражение для кинетической энергии мы найдем только для случая, когда связи стационарны и формулы преобразования (2.2) не содержат времени. Подставляя формулу для скорости [  (2.4)] из (2.4) в выражение для кинетической энергии (  ), имеем

             (3.23)

Введем матрицу коэффициентов, зависящих только от обобщен­ных координат:

        (3.24)

Матрица — это симметричная матрица. Учитывая обозначения (3.24), запишем кинетическую энергию механической системы в виде

              (3.25)

Если формулы преобразования к обобщенным координатам не со­держат времени, то кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Функция Лагранжа (разность кинетической и потенциальной энергии называется функцией Лагранжа и обозначается буквой ) принимает форму

      (3.26)

Если формулы преобразования к обобщенным координатам со­держат время, то выражение для кинетической энергии в обобщен­ных координатах будет содержать члены, линейные по обобщен­ным скоростям, и члены, не зависящие от обобщенных скоростей.