Получение уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.

Из принципа Гамильтона обычным методом вариационного исчисления можно получить дифференциальные уравнения. Наряду с зависимостью , описывающей истинное движение механической системы, рассмотрим пробные функции , отличающиеся от  на бесконечно малую величину:

               (3.1) Дифференцируя равенство (3.1) по времени, найдем  (3.2) Откуда следует, что вариация скорости равна производной от вариации координаты: . (3.3).

Это уже было отмечено ранее, что дифференцирование по времени и варьирование можно переставлять. Вариации координат рассматриваются такими, что в моменты времени  и . они равны нулю:        (3.4)

Действие для пробных функций разложим в ряд в линейном приближении по , и :      (3.5)

Интеграл от одного из слагаемых первой суммы в (3.5) вычислим по частям:

(3.6)

Согласно условию (3.4), на пределах интегрирования . Поэтому первое слагаемое в последнем равенстве обращается в нуль. Подставляя теперь результат из (3.6) в (3.5) и записывая вариацию действия, получим

      (3.7)

Поскольку вариации координат произвольны, то нулю должны равняться выражения в скобках для каждого . В результате получается система дифференциальных уравнений, которые в механике называются уравнениями Лагранжа:             (3.8)      Уравнения Лагранжа - это система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат . Их решение дает зависимость обобщенных координат от времени, ко­торая удовлетворяет принципу Гамильтона и, следовательно, опи­сывает истинное движение механической системы. Преимуществом уравнений Лагранжа по сравнению с векторными уравнениями второго закона Ньютона является то, что они получаются из одной скалярной функций - функции Лагранжа и сразу оказываются записанными в обобщенных координатах

Несмотря на то, что функция Лагранжа равна разности кине­тической и потенциальной энергии, в выборе функции Лагранжа имеется некоторый произвол. Две функции Лагранжа, отличаю­щиеся на полную производную по времени от произвольной функ­ции координат и времени, дают одни и те же уравнения движения. Покажем это. Пусть  и отличаются на полную производную по времени от некоторой функции ;                     (3.9)

Тогда для разности действий, отвечающих этим функциям Лагранжа, получим:                                    

Вследствие того, что вариация координат на пределах интегрирования  и  =0, вариации и  равны. Поэтому онибудут обращаться в нуль одними и теми же зависимостями , то есть принцип Гамильтона с функцией Лагранжа дает тот же закон движения системы, что и принцип Гамильтона с функцией Лагранжа . Наличие этого произвола позволяет иногда упрощать функцию Лагранжа путем отбрасывания членов, которые можно объединить в выражение, представляющее полную производную по времени от функции координат и времени.           

Ур-ия Лагранжа обобщаются на механические системы, в которых действуют непотенциальные силы. Выражение для; обо6щенной непотенциалыюй силы нужно добавить в правую часть уравнений Лагранжа. Они тогда принимают вид           , где      (3,10)

В частном случае, когда непотенциальные силы являются силами трения, пропорциональными первой степени скорости, они могyт быть получены из диссипативной функции Рэлея: ;  (3.11) Коэффициенты  могут зависеть от координат и характеризуют силы трения в механической системе. Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид      (3.12) Ур-ия (3.10) и (3.12) не могут быть получены на основе вариационного принципа. Они выводятся непосредственно из принципа Даламбера. В лагранжевом формализме можно включать в уравнения движения силы немеханической природы. Например, ур-ия движения заряда  в электромагнитном поле получаются из фунции Лагранжа, которая содержит слагаемые, описывающие взаимодей­ствие заряда с полем:  (3.13) где и — скалярный и векторный потенциалы электромагнит­ного поля,  — скорость света в вакууме. Электромагнитные ве­личины записаны в гауссовой системе единиц. При замене функции Лагранжа классической механики на функ­цию Лагранжа специальной теории относительности ур-ия Лагранжа дают ур-ия движения механики спец. те­ории относительности.