Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Обобщенный импульс, обобщенная энергия циклические координаты.
Для одной материальной точки производные от функции Лагранжа по равны проекциям импульса на декартовы оси ; ; (3.27) В обобщенных координатах вводится понятие обобщенного импульса. Обобщенный импульс, сопряженный координате определяется по формуле, аналогичной формулам (3.27): (3.28) Если координаты не декартовы, то обобщенные импульсы больше не равны проекциям импульса. Их можно выразить через импульсы отдельных материальных точек, составляющих систему материальных точек. Рассмотрим функцию Лагранжа как сложную функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей:
Вычислим производные по обобщенным координатам как производные от сложной функции: (3.29) Для частных производных от векторов скорости из формулы (2.4) находим, что (3.30) В рез-те имеем следующую связь обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы: (3.31) Обобщенный импульс, сопряженный декартовой координате, равен проекции импульса на декартову oсь. Обобщенный импульс, сопряженный угловой координате, равен проекции момента импульса на ось вращения. Чтобы убедиться в этом, выразим радиус-вектор материальной точки через сферические координаты: (3.32) Используя представление (3.32), легко проверить, (3.33) Подставляя выражение (3.33) в формулу (3.31), найдем для одной материальной точки , (3.34) то есть обобщенный импульс , сопряженный угловой координате , равен проекции момента импульса на ось OZ, которая в данном случае представляет ось вращения при изменении угла . Поскольку моменты импульса складываются, то это будет справедливо и для системы материальных точек. Используя определение обобщенного импульса, уравнения Лагранжа можно записать в форме (3.35) Возможны случаи, когда некоторые координаты не входят в функцию Лагранжа, но в ней присутствуют их производные по времени — обобщенные скорости. Такие координаты называются циклическими координатами. Например, если в функции Лагранжа материальной точки ( массой , находящейся в потенциальном поле : (3.14) потенциальная энергия не будет зависеть от координат х и у, то координаты х и у будут циклическими. Для циклической координаты правая часть уравнения (3.35) равна нулю и, следовательно, интеграл этого уравнения имеет вид . (3.36) Так как обобщенный импульс, сопряженный циклической координате, остается постоянным при движении механической системы, то говорят, что он сохраняется. Каждой циклической координате отвечает свой закон сохранения. Наличие законов сохранения упрощает решение задач механики. Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных координат . Соотношения вида (3.36) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относительно . Понижение порядка дифференциальных уравнений облегчает их интегрирование. Поэтому выбор обобщенных координат, когда некоторые из них являются циклическими, является предпочтительным. Обобщенная энергия Найдем полную производную от функции Лагранжа по времени. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями времени, то получим выражение (3.37) Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования произведения двух функций и получим из нее следующее равенство:
С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запишем его в форме (3.38) Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называется обобщенной энергией. Обозначим его буквой : (3.39) . Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени (3.40) Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохраняется при движении механической системы. Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим (3.41) Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем (3.42) то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии. Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при отсутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение механической энергии дается формулой (3.43) Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12). Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функцией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12)
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 561. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |