Связи, обобщенные координаты

Часто в механике движение тел ограничено другими телами. Ограничения, которые не зависят от движения тел и от действующих на них сил, называются связями. При движении тела по наклонной плоскости связью будет наклонная плоскость. Для математического маятника связью является подвес, который заставляет материальную точку двигаться по окружности с радиусом . Связи ограничивают значения, которые могут принимать координаты. Во многих случаях ограничения, налагаемые связями, можно записать в виде алгебраических уравнений для координат материальных точек. Такие связи называются голономными.

Пусть с-ма содержит  материальных точек, координаты которых задаются радиусами-векторами , где индекс  пробегает значения 1,2,..., N. В отсутствие связей для задания положений всех материальных точек нужно задать  координат, по три координаты на каждую материальную точку. Если на систему наложены  голономных связей, то их можно записать с помощью  уравнений

          (2.1)

Из уравнений (2.1)  координат можно выразить через другие координаты. Поэтому остается независимых координат. Число независимых координат, необходимых для задания положения системы материальных точек, называется числом степеней свободы. Если в уравнения связей не входит время, то такие связи называются стационарными, или склерономными,

Вместо использования  декартовых координат, из которых только  являются независимыми, можно ввести  независимых координат . Выбор этих координат должен удовлетворять условиям, чтобы они однозначно определяли положение системы материальных точек и чтобы их изменение приводило к перемещению системы, совместимому со связями. В остальном их выбор ничем не ограничен. Определенные таким образом координаты называются обобщенными координатами. Преобразование от декартовых координат к обобщенным координатам можно записать в векторной форме: 

                 (2.2)

Подстановка выражений (2.2) в уравнения (2.1) должна обращать их в тождества. Для стационарных связей время не входит в выра­жения (2.2). Бывает удобно ввести обобщенные координаты и при отсутствии связей. Например, сферические или цилиндрические координаты для одной материальной точки — это частный случай обобщенных координат.

Дифференцируя выражения (2.2) по времени, получим

           (2.3)

Для стационарных связей последнее слагаемое в формуле (2.3) от­сутствует:

 (2.4)      Производные от обобщенных координат по времени  называются обобщенными скоростями.