Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Неопределенные арифметические выражения
В предыдущем разделе мы установили пределы последовательностей, которые определялись арифметическими выражениями
и, в предположении, что последовательности Остановимся теперь на случаях, когда пределы последовательностей Начнем рассмотрение именно с частного: 1) Если В самом деле, 2) Если Имеем 3) Если yn→∞, а Действительно, так как 4) Теперь переходим к случаю, когда обе последовательности Пусть  Наконец, если Таким образом, одно знание пределов последовательностей 5) В случае, когда одновременно yn ® ∞ и xn ® ∞, имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих последовательностей, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Проиллюстрируем это на примерах: yn = n ® ∞, xn = n2 ® ∞, yn = n2 ® ∞, xn = n ® ∞, yn = l·n ® ∞ (l ¹ 0), xn = n ® ∞, yn = (-1)n·n ® ∞, xn = n ® ∞, И в этом случае говорят, что выражение Обратимся к рассмотрению произведения 6) Если В самом деле, последовательность 7) Если уn® 0, в то время как xn® ∞, то исследуя поведение произведения
В связи с этим при Рассмотрим, наконец, алгебраическую сумму 8) если 9) Если Доказательство 8) и 9) предлагаем провести самостоятельно. 10) Случай же, когда Примеры.
Ввиду этого, при
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 459. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
(1.10)
и 
стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, xn и предел 
стремится к нулю.
; так как второй множитель есть бесконечно малая (как обратная бесконечно большой), то, по теореме 2 (п.5.3), и 
есть также бесконечно малая.
∞.
. К последовательности 
применима теорема 3 о пределе частного – она стремится к нулю. Следовательно, последовательность 
(как обратная бесконечно малой) имеет пределом ∞.
имеет конечный предел, то 
.
в силу 1) стремится к нулю, то 
.
и 
, и 
; обе последовательности стремятся к нулю. Их отношение 
также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить 
, 
, то, хотя они по прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение 
стремится к ∞! Взяв же любое отличное от нуля число l и построив две бесконечно малые 
и 
, видим, что отношение их имеет пределом l (так как тождественно равно l).
, 
(обе имеют пределом нуль), то отношение 
оказывается вовсе не имеющим предела.
представляет неопределенность – вида 
.
0;
∞;
;
вовсе не имеет предела.
.
:
имеет предел, конечный или нет, но не равный нулю, а xn® ∞, то 
есть бесконечно малая (так как первый множитель имеет конечный предел, а второй стремится к нулю); отсюда и вытекает требуемое заключение.
мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 4) и 5). Об этом свидетельствуют примеры:
, вовсе не имеет предела.
и 
, говорят, что выражение 
представляет неопределенность вида 0·¥.
:
∞, а 
имеет конечный предел, то 
∞.
и 
обе стремятся к +∞ (или обе к –∞), то к тому же пределу стремится и сумма 
.
и 
стемятся к бесконечности разных знаков, снова оказывается особым: о сумме 
и 
.
– предела не имеет.
говорят, что выражение 
представляет неопределенность вида ∞ – ∞.