Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел

Теорема 1(о пределе суммы (разности)).Если последовательности {y_n} и {х_n} имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательности {y_n ± x_n} также имеют конечный предел, причем

.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что y_n = a + u_n, x_n = b + v_n, где последовательности {u_n} и {v_n} – бесконечно малые. Тогда y_n ± x_n = (a ± b) + + (u_n ± v_n).

Здесь последовательности {u_n ± v_n} есть бесконечно малые по теореме 1 (п.5.3); следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно утверждать, что последовательности {y_n ± x_n} имеют пределы, равные a ± b, что и требовалось доказать. Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности {y_n} и {х_n}  имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательность {y_n x_n} также имеет конечный предел и lim {y_n ·x_n} = lim y_n·lim х_n = a·b.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема обобщается на случай конечного числа сомножителей.

Следствие.Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

                               lim ly_n = l lim y_n , где l - постоянное число.

Действительно, если последовательность постоянная  = {l}, то ее предел lim х_n = l. Тогда по теореме 2: lim {y_n · x_n} = lim y_n·lim х_n=l lim y_n.

Теорема 3(о пределе частного). Если последовательности {y_n} и {х_n} имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательность  также имеет конечный предел, а именно

 .

Доказательство. Из условий y_n®a и x_n®b имеем y_n = a + u_n и x_n = b + v_n, где последовательности {u_n} и {v_n} – бесконечно малые. Тогда

.

По свойствам бесконечно малых последовательность  есть бесконечно малая. Тогда и последовательность  также бесконечно малая, как произведение ограниченной последовательности  на бесконечно малую. Таким образом, по второму определению предела следует, что  или .