Бесконечно большие последовательности и их свойства

Бесконечно малым последовательностям в некотором смысле противопоставляются бесконечно большие последовательности(или простобесконечно большие).

Определение. Последовательность {y_n} называется бесконечно большой, если ее значения y_n по абсолютной величине становятся и остаются бóльшими сколь угодно большóго наперед заданного числа l >0, начиная с некоторого номера n_l, зависящего от l: |y_n| > l, лишь только п > n_l.

Как и в случае, бесконечно малой, здесь также следует подчеркнуть, что конкретные значения y_n бесконечно большой последовательности {y_n} способны сделаться бóльшими произвольно взятого большóго числа l лишь в процессе своего изменения.

Из приведенного определения следует, что последовательность бесконечно большая, если в любой конечной l-окрестности нуля (-l,l) содержится конечное число членов последовательности и вне этой окрестности ее членов бесконечно много.

Заметим, что бесконечно большая последовательность является неограниченной, но обратное утверждение несправедливо, так как не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность, значения которой заданы формулой , не ограничена. Действительно, для любого l > 0 найдутся такие ее члены, которые удовлетворят неравенству  Но нельзя подобрать такое натуральное число n_l, чтобы " n > n_l  выполнялось то же неравенство

Примерами бесконечно больших могут служить последовательности: Эти последовательности пробегают значения натуральных чисел, но первая со знаком плюс, вторая со знаком минус, третья же – с чередующимися знаками.

Между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями существует простая связь, которая устанавливается следующими теоремами:

1. Если последовательность {y_n} с отличными от нуля членами является бесконечно большой, то последовательность будет бесконечно малой.

2. Если последовательность {х_n} с отличными от нуля членами является бесконечно малой, то последовательность  будет бесконечно большой.

Эти теоремы примем без доказательства.

Если последовательность {y_n} является бесконечно большой, то говорят также, что она имеет предел ∞ или стремится к ∞, и пишут

 ∞,  ∞,  ∞.

Когда значение  бесконечно большой последовательности {y_n} (по крайней мере, для достаточно больших n) сохраняют определенный знак (плюс  или минус); тогда, в соответствии со знаком, говорят, что последовательность {y_n} имеет предел +∞ или - ∞ и пишут

lim y_n = +∞,  +∞, lim y_n = - ∞,  - ∞.

Из приведенных выше примеров бесконечно больших последовательностей, очевидно, последовательность стремится к +∞, последовательность стремится к -∞. Что же касается третьей последовательности то она, как и все бесконечно большие последовательности, стремится к ∞, но про нее нельзя сказать, что она стремится к +∞, или, что она стремится к -∞.

Таким образом, к «несобственным числам» +∞ и -∞, с которыми мы уже сталкивались, мы здесь присоединили еще ∞, без знака; следует помнить, что их применение имеет совершенно условный смысл, и остерегаться производить над этими «числами» арифметические операции.

Введение бесконечных пределов не нарушает теоремы 1 (п.5.2) о единственности предела, а теоремы 3 и 4 (п.5.2) легко распространяются и на случай бесконечных пределов (из них теорема 4 – лишь в предположении, что речь идет о бесконечности определенного знака).