Бесконечно малые последовательности и их свойства

Определение 1. Последовательность {y_n}, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.

Определение 2.Последовательность {y_n} называется бесконечно малой, если ее значения y_n по абсолютной величине становятся и остаются меньшими сколь угодно наперед заданного числа e >0, начиная с некоторого номера n_e , зависящего от e : |y_n| < e , лишь только n > n_e .

В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две (или больше) последовательности, сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом знаки относятся к соответствующим значениям последовательностей. Говоря, например, о сумме двух последовательностей {x_n} и {y_n}, которые принимают соответствующие значения x₁, x₂, x₃,...,x_n, и y₁, y₂, y₃,...,y_n будем иметь в виду последовательность {x_n + y_n}, принимающую последовательность значений  x₁ + y₁,…, x_n + y_n , …

Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых последовательностей есть также последовательность бесконечно малая.

Доказательство теоремы опускаем.

Теорема 2. Последовательность {x_n × m_n}, представляющая собой произведение ограниченной последовательности {x_n} на бесконечно малую последовательность {m_n}, есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство.Пусть для всех значений n |x_n| < b,где b > 0. Если задано произвольное число > 0, то по числу  для бесконечно малой {m_n} найдется такой номер n_e , что для n > n_e будет |m_n| < . Тогда для тех же значений n очевидно, |x_n × m_n| = |x_n| × |m_n| < b = . Отсюда и следует, что последовательность {x_n × m_n} есть бесконечно малая.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на последовательность, имеющую конечный предел, есть последовательность бесконечно малая.

Действительно, так как последовательность имеет конечный предел, то она ограничена и тем самым выполнены условия теоремы.

Теорема 3. Для того чтобы последовательность {y_n} имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая бесконечно малая последовательность {x_n}, что

y_n = a + x_n .                                 (1.9)

Доказательство.Необходимость. Пусть последовательность {y_n} имеет предел . Это означает, что для любого > 0 существует такое n_e , что " n > n_e  выполняется неравенство |y_n - a| < e.

Обозначим y_n – a = x_n. Тогда " n > n_e |x_n| < e, т.е. lim x_n = 0. Следовательно, последовательность {x_n} бесконечно малая. Таким образом, lim y_n = , где {x_n} - бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть последовательность {y_n} представлена в виде (1.9), где lim x_n = 0. Это означает, что  $ n_e , что " n > n_e  выполняется неравенство |x_n| < e. Из равенства (1.9) x_n = y_n – a. Тогда " n > n_e справедливо неравенство |y_n - | < e, откуда по определению lim y_n = a. Таким образом, y_n =a + x_n  lim y_n = a.

Теперь окончательно заключаем: lim y_n = a  y_n = a + x_n.

Условие (1.9) можно прочитать так: любой член сходящейся последовательности равен сумме предела последовательности и соответствующего члена бесконечно малой последовательности.

Замечание. Если для бесконечно малой последовательности {x_n} использовать второе из приведенных выше определений без упоминания термина "предел", то теорема 3 позволяет дать для понятия "предел" другое определение (равносильное старому).

Определение 3. Постоянное число a называется пределом последовательности {y_n}, если существует такая бесконечно малая последовательность {x_n}, что y_n = a + x_n.

Примеры. 1. Рассмотрим последовательности, общие члены которых заданы формулами: , где k – любое положительное число, т.е. .

Все три последовательности представляют собой бесконечно малые, т.е. имеют пределом нуль. Действительно, для них , лишь только . Таким образом, в качестве n_e можно взять, например, наибольшее целое число, содержащееся в ,т.е. E .

Отметим, что значения первой последовательности все время больше своего предела 0, второй - все время меньше его, третьей же – попеременно становятся то больше, то меньше его.

2. Важный пример бесконечно малой дает последовательность {y_n} = {qⁿ}, где |q| < 1. Для доказательства того, что y_n ® 0, рассмотрим неравенство |y_n| = |q|ⁿ < e ; оно равносильно таким: n lg|q| < lg e или .

Знак неравенства изменен на обратный, так как lg|q| < 0. Таким образом, если положить (считая e < 1) n_e , то упомянутое неравенство выполняется и, следовательно, y_n ® 0.

Замечание.Тот факт, что последовательность {y_n} - бесконечно малая, не означает (еcли она не нуль), что в отдельности взятое значение y_n этой последовательности может квалифицироваться как «малое» число. Например, бесконечно малая последовательность {y_n} с общим членом  при п = 1 имеет значение y₁ = 100, которое, естественно, не может рассматриваться как «малое» число, близкое к точке «ноль» на числовой оси.