Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел

    Теорема 1.Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

  Доказательство. Допустим противное. Пусть последовательность {y_n} имеет два предела lim y_n = a и lim y_n = b, где a ¹ b, для определенности возьмем a < b.

Выберем e > 0 так, чтобы . Поскольку y_n®a, то найдется такой номер n₁, что для n > n₁ будет выполняться неравенство a - e < y_n < a +e. С другой стороны, раз y_n ® b, то найдется такой номер n₂,что для n > n₂ окажется b - e < y_n < b +e. Если взять номер n большим и n₁, и n₂, то соответствующие значения y_n последовательности {y_n} будут одновременно принадлежать двум интервалам (a - e,a +e) и (b - e,b +e), которые не пересекаются, т.е. (a - e,a +e) ∩ (b - e,b +e) = Æ, что невозможно. Значит, предположение неверно и для последовательности существует только один предел.

Следствие. Если две последовательности {x_n} и {y_n} при всех их изменениях равны: x_n = y_n, причем каждая из них имеет конечный предел: lim x_n = a,lim y_n = b, то равны и эти пределы: a = b.

Теорема 2. Если последовательность {y_n} имеет конечный предел a, то она ограничена, в том смысле, что все ее значения составляют ограниченное множество.

Доказательство. Так как lim y_n = a, то в любую e-окрестность точки a попадают все y_n, за исключением разве лишь конечного числа точек y_n. Пусть начиная с n = n_e+1 все , , ,… попали в окрестность (a - e,a +e), т.е. a - e  < y_n < a +e " n > n_e .

Выберем из чисел a - e и a +e наибольшее по модулю m = max (|a - e|,|a +e|). Тогда | y_n| < m¢ " n > n_e .

Теперь для конечного множества чисел |y₁|,|y₂|,|y₃|,...., ,m¢ выберем наибольшее m = max(|y₁|,|y₂|,|y₃|,...., ,m¢ ). Тогда " nÎN, следует, что |y_n| < m. Теорема доказана.

Заметим, что обратное утверждение не выполняется, так как не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Например, последовательность  ограничена, но предела не имеет. Действительно, по определению предела последовательности число a будет ее пределом, если в любой e-окрестности точки a содержится бесконечное множество членов этой последовательности, а вне ее – конечное. В данном случае в любой                       e-окрестности, например, единицы, e < 1, находится бесконечное множество членов последовательности, но и вне этой окрестности также находится бесконечное множество ее членов. Это означает, что последовательность не имеет предела.

Теорему 2 дополним леммой, доказательство которой аналогично доказательству теоремы 2.

Лемма. Если последовательность {y_n}, у которой y_n ¹ 0 " nÎN имеет предел, отличный от нуля, то последовательность  ограничена.  

Справедлива следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 3.Если для последовательностей {x_n} и {y_n}, имеющих конечные пределы a и b, и, начиная с некоторого номера, для всех последующих членов выполняются неравенства x_n ³ y_n илиx_n > y_n, то lim x_n ³lim y_n или a ³ b.

Следует обратить внимание на то, что из строгого неравенства x_n > y_n , вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство lim x_n > lim y_n ,а только по-прежнему lim x_n ³ lim y_n. Так, например,  при всех n, и, тем не менее .Эта теорема дает возможность осуществлять предельный переход в неравенствах: из x_n ³ y_n можно заключить, что lim x_n ³ lim y_n.

Замечание. Знак > всюду может быть заменен знаком < .

Теорема 4.(Гурьева о трех последовательностях). Если для трех последовательностей {x_n}, {y_n}, {z_n}, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства x_n ≤ y_n ≤ z_n , причем последовательности {x_n} и {z_n} стремятся к общему пределу a: lim x_n = lim z_n = a, то и последовательность {y_n} имеет тот же предел: lim y_n= a..

Доказательство. Зададимся произвольным e > 0. Поэтому e, прежде всего, найдется такой номер n₁, что при n > n₁ a - e < x_n < a +e. Затем найдется такой номер n₂, что при n > n₂ a - e < z_n< a +e.

Пусть n_e будет больше обоих чисел n₁и n₂; тогда при n > n_e выполняются оба предшествующих двойных неравенств и поэтому a - e < x_n ≤ y_n ≤ z_n < a +e .

Окончательно, при n > n_e a - e < y_n < a +e  или | y_n - a | < e . Это означает, что lim y_n = a .