Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ
Пусть функция у = f(x), заданная аналитическим выражением, определена в некоторой области Р и пусть Е будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области Р, т.е. Е = f(Р) (обычно как Р,так и Е будут представлять собой числовые промежутки). Выберем какое-нибудь значение у = у0 из области Е; тогда в области Р необходимо найдется такое значение х = х0, при котором наша функция принимает именно значение у0, так, что f(х0) = у0, или, разрешив это уравнение относительно х0, то х0= g(у0). (1.5) Если каждому значению у из Е ставится в соответствие только одно значение х из Р, то это означает, что аналитическим выражением (1.5) задается функция х = g(у), определенная на Е и со значениями в Р, и во-вторых, что функция у = f(x) представляет собой взаимно однозначное отображение и, следовательно, для нее существует обратная функция f –1. Покажем, что функция g : E®P является обратной для функции f : P®E, т.е. g = f –1. Действительно, при подстановке x = g(y) в y = f(x) мы получаем тождество y = f[g(y)] = y,аналогично x = g[f(x)] = x. Это означает, что композиция (суперпозиция) функций g на f или f на g осуществляют тождественное отображениесоответственно e : y ® y или e : x ® x,т.е. fоg = gоf = e и, следовательно, g = f –1. Теперь рассмотрим ситуацию, когда каждому значению y из E ставится в соответствие не одно, а несколько (например, k) значений x из P, т.е. если y = y0, то x = x0i, i = 1, ..., k. Для этого случая функция f : P®E не представляет собой взаимно однозначное отображение, а аналитическое выражение (1.5) не может определять функцию. Для этой ситуации поступим следующим образом. Разобьем область определения P функции y = f(x) на k подмножеств Pi , i = 1,2,...,k так, чтобы каждому значению y из E ставилось в соответствие только одно значение x из Pi и при этом f(Pi) = E. Тогда, ограничив область определения функции y = f(x) подмножеством Pi , мы получим ситуацию, аналогичную рассмотренной выше. Откуда следует, что функция y = f(x),на подмножестве Pi , имеет обратную функцию и ею является функция x = g(y), определенная на E, но со значениями в Pi , т.е. f : Pi®E, а f –1= g : E®Pi.  Если функция x = g(y)является обратной для функции y = f(x), то очевидно графики обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е. вместо функции x = g(y) рассматривать y = g(х).Если при этом по-прежнему значения х откладывать по горизонтальной оси, а значения у – по вертикальной, то графики этих функций будут различны. График обратной функции будет симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов у = х. Примеры: 1. y = ax (a > 0, a ¹ 1) – показательная функция. Эта функция определена на промежутке P = (–∞, +∞), а значения y заполняют промежуток E = (0,+∞),причем каждому y из этого промежутка отвечает в P одно значение x = loga y. Таким образом, выражение x = loga y есть функция, определенная на E и эта функция является обратной для функции y = ax, определенной на P. Действительно,
Рис. 2 2. y = xn – степенная функция, где nÎN. Такая функция определена на промежутке R = (-∞, +∞), а значения y заполняют либо промежуток E1 = (–∞,+∞), если n – нечетное число, либо промежуток E2 = (0,+∞), если n – четное число. В первом случае любому y = y0 из E1 отвечает в P одно значение Во втором случае функция y = xn, не имеет обратной, так как одному значению у = у0 из Е2 = (0, +∞) соответствуют два значения x = x0k , k = 1,2 из P : Однако, если область определения P функции y = xn разбить на два подмножества P1 = [0, +∞) и P2 = (–∞, 0) и область определения функции y = xn ограничить этими подмножествами, то на каждом из этих подмножеств функция y = xn имеет обратную функцию.
Рис. 3 Рис. 4 На промежутке P1 обратной функцией является 3. y = sin x – тригонометрическая функция. График этой функции показан на рис.5. Как видно из графика, эта функция определена в промежутке P = (-∞,+∞), причем ее значения заполняют сплошь промежуток E =[-1,1]. Каждому значению y = y0из E отвечает бесконечное множество значений x из P. Поэтому функция y = sin x, определенная на P, обратной функции не имеет. Однако, если промежуток P разбить на бесконечное число промежутков Таким образом, обратная функция для y = sin x, определенная на замкнутом промежутке [–1,1], со значениями в замкнутом промежутке Подобные рассуждения для остальных тригонометрических функций приводят к следующим результатам: а) функция y = cos x, определенная на замкнутом промежутке Р0 = [0,p], имеет обратную х = arccos у (либо у = arccos х), определенную на сегменте [1,1]. Множество всех значений х = х0k из Р = (-∞, +∞) соответствующих у = у0 из Е = [–1,1] записывается х0k = ± arccos y0 + 2p k, где kÎZ;
Рис. 5 Рис. 6 б) функция y = tg x, определенная на интервале х0k = arcсtg y0 + pk, kÎZ. Для значений в) функция у = ctg x; Р0 = (0,p), имеет обратную х = arcctg у (у = arcctgx), Е = (-∞, +∞). Для значений х = kp, kÎZ функция у = ctg x не определена, х0k = arcсtg y0 + kp. Графики этих функций показаны на рис. 7 – 9.
Рис. 7
Рис. 8 (Переделать, асимптоты)
Рис. 9 (Переделать, асимптоты)
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 515. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
, или 
. Графики этих функций представлены на рис.2.
или ( 
) и, следовательно, выражение 
определяет обратную функцию для 
. На рис.3 показаны графики прямой (сплошная кривая) и обратной (пунктирная кривая) функций.
, 
.
. Графики прямой и обратной функций для области определения P2 показаны на рис.4 сплошной кривой, а для P1 – пунктирной. Следует обратить внимание на то, что область определения P2 представляет собой открытый интервал, так как для y0 = 0 соответствуют не два значения x из P, как для всех остальных y из E, а только одно: x = 0. Мы же точку ноль отнесли к первому промежутку. На графике на этот факт указывают стрелки при приближении к точке нуль.
, где k = 0, ±1, ±2,... (k Î Z), то функция y = sin x, определенная на каждом таком промежутке Pk, имеет обратную функцию, определенную на промежутке (–1,1) и со значениями в данном промежутке Pk. Что же касается граничных точек 
, разделяющих промежутки Pk и Pk+1, то эти точки будем относить к промежутку Pk; тогда промежуток Pk будет замкнутым справа, а промежуток Pk+1 открытым слева, если k = 0, 1, 2... и, соответственно, замкнутым слева, а открытым справа если k = –1, –2.... Обычно обратную функцию для y = sin x рассматривают лишь для промежутка k = 0, т.е. 
. Обратим внимание, что это единственный замкнутый промежуток из всех разбиений Pk области Р. Каждому у0 из [–1,1] в пределах 
отвечает одно значение х00; его обозначают через х00 = arcsin y0, а все множество значений х0к из Р, которым в соответствие ставится у0 из Е = [–1,1] записывают в виде х0k = (–1)k arcsin y0 + p k, kÎZ.
имеет обратную x = arctg y (либо у = arcctg x), определенную на Е = (-∞, +∞). Множество значений х0k из Р соответствующих у0 из Е записывают 
функция у = tg x не определена;
