Неявное задание функции. Алгебраические и

Трансцендентные функции

Пусть заданы два числовых множества P Ì R и E Ì R с элементами xÎP и yÎE и пусть x и y связаны между собой уравнением, которое, если все его члены перенести влево, имеет вид

F(x,y) = 0.                                           (1.1)

Если для каждого значения x из P существует значение y из E, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (1.1), то этим задается функция y = f(x),определенная на множестве P и со значениями в E, для которой равенство F[x,f(x)] = 0имеет место уже тождественно относительно x. В этом случае говорят, что функция y = f(x) задана посредством уравнения (1.1) или неявно, а саму функцию f называют неявной. Она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость y от x, заданная аналитическим выражением.

Возьмем, например, выражение

3x³ + 4xy – 1 = 0.                                         (1.2)

Оно определяет y как функцию от x в промежутках (–∞,0) и (0,+∞); а именно

.                                       (1.3)

И если вместо y подставить в уравнение (1.2) эту функцию, то получится тождество.

Здесь удалось найти для f(x) очень простое аналитическое выражение через x и тем самым функцию y = f(x), заданную неявно уравнением (1.2), удалось представить и в явном виде аналитической формулой (1.3). Однако неявная форма задания функции часто вызывается невозможностью задания закона функциональной зависимости в явном (аналитическом) виде. Например, функцию, заданную уравнением e^y + y – 2x = 0, записать в явном виде невозможно. Поэтому неявная форма задания функции является более общей, чем явная. Действительно, любую явно заданную функцию y = f(x) всегда можно записать в неявном виде y – f(x ) = 0.

Конкретное уравнение (1.1) неявно может задавать не одну, а несколько функций f₁, f₂, ...., f_n , определенных на одном и том же множестве P. Например: уравнению x² – y² = 0 удовлетворяют четыре функции y = x, y = –x, y = |x| и   y = –|x|,т.е. каждая из этих функций при подстановке ее в уравнение превращает его в тождество относительно x; уравнение x²+ y² – a²= 0неявно задает две функции  и , а уравнение x – sin y = 0 неявно задает бесчисленное множество функций, определенных на сегменте

[–1, 1] и со значениями в сегментах [-p/2 + kp, p/2 + kp], где k = 0, ±1, ±2,....

В простейшем случае, когда уравнение (1.1) – алгебраическое, т.е. когда левая часть этого уравнения является многочленом относительно x и y

g_n(x)yⁿ + g_n-1(x)y^n-1 +...+ g₁(x)y + g₀(x) = 0,                (1.4)

где g_n(x),…, g₀(x) – некоторые многочлены от x;определяемая им неявная функция f : x®y называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно y) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах; при степени выше четырех такое выражение возможно, лишь в виде исключения.

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Примеры алгебраических функций:  и т. п.

Трансцендентных:  и т. п.