Ограниченные числовые множества

Определение 1.Если для числового множества P Ì R существует такое конечное число lÎR, что x £ l, для любого числа x из P, то будем говорить, что множество P ограничено сверху (справа); само число l называется верхней границей множества P.

Если множество Р ограничено сверху, то оно имеет бесконечное множество верхних границ. Действительно, любое число l₁>l,очевидно, так же будет верхней границей. Наименьшую верхнюю границу l₀ множества Р называют точной верхней границей и для ее обозначения употребляется символ sup P = l₀(supremum P). Заметим, что sup P может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Р. Если все числа х множества Р удовлетворяют неравенству х £ l,то и sup P £ l.

Если множество Р сверху не ограничено, то за его верхнюю границу принимают “несобственное число” +∞ и записывают sup P = +∞. Относительно символа +∞ считают, что x <+∞, каково бы ни было число x из R.

Определение 2. Если для числового множества P Ì R $ b Î R такое, что x ³ b " xÎP, то будем говорить, что множество P ограничено снизу (слева); само число b называется нижней границей множества P.

Из всего множества нижних границ наибольшую b₀ называют точной нижней границей множества P и для ее обозначения употребляется символ    inf P = b₀ (infimum P). Inf P может принадлежать, а может и не принадлежать множеству P. Если все числа x множества P удовлетворяют неравенству x ³ b,то и inf P ³ b .

Если множество P снизу не ограничено, то за его нижнюю границу принимают "несобственное число" –∞ и записывают inf P = –∞. Относительно символа –∞ полагают, что х > –∞, каково бы ни было число х из R.

Определение 3. Если числовое множество P ограничено и сверху, и снизу, то такое множество называется ограниченным.

Для любого числа х из ограниченного множества P выполняются неравенства b₀ £ х £ l₀, где l₀ = sup P, а b₀ = inf P.

Для любого ограниченного множества P существует такое число m > 0, что  для любого числа х из Р. Это неравенство можно записывать иначе:

–m £ х £ m.

Если числовое множество Р не ограничено, то все значения xÎR удовлетворяют неравенству –∞ < х < +∞.

Примеры:

1. Р = N. Множество N натуральных чисел ограничено снизу. Inf N = 1, sup N = +∞.

2. P = {x | x = m/n, mÎN, nÎN и m < n}. Это множество правильных дробей; оно ограничено и снизу, и сверху: inf P = 0, sup P = 1, т.е. является ограниченным множеством.

3. P = R. Множество R действительных чисел является неограниченным множеством и поэтому " xÎR; имеем –∞ < x < +∞.

Определение 4. Числовое множество, в котором числовые значения изменяются непрерывным или сплошным образом, называется числовым промежутком.