Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b – действительные числа, причем a < b.

Определение 1. Сегментомили замкнутым промежуткомназывается множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих условию a £ х £ b.Числа a и b называются концами сегмента. Сегмент обычно обозначают [a,b].

Геометрическим аналогом сегмента [a,b] = {x | a £ x £ b} является отрезок числовой оси, концами которого служат точки a и b. Поэтому вместо слова “сегмент” употребляется также “отрезок”.

Определение 2. Интервалом или открытым промежутком называется множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих условию a < х < b. Числа aи b называют концами интервала. Интервал обозначают (a,b) или  ]a,b [.

Рис. 1

Рассмотрим интервал (x₀ – e , x₀ + e)с центром в точке x₀ (рис.1). Такой интервал называется e - окрестностью точки x₀ или окрестностьюточки x₀ радиусом e .

Определение 3. Полусегментом (полуинтервалом) или полуоткрытым промежутком,замкнутым слева (справа), называется множество всех действительных чисел х,удовлетворяющих условию a £ х < b (a < х £ b).Полуоткрытый промежуток, замкнутый слева, обозначается [a,b), справа – (a,b].

Числовые промежутки, рассмотренные выше, представляют собой ограниченное множество P, у которого inf P = a, а sup P = b.

Помимо указанных числовых промежутков приходится рассматривать и бесконечные числовые промежутки, у которых одним из концов или обоими служат "несобственные числа" –∞ и +∞. Обозначения их аналогичны приведенным выше. Например, (–∞, +∞) есть множество всех действительных чисел; (a,+∞)означает множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х > a;промежуток (–∞,b]определяется неравенством х £ b. Геометрически бесконечные промежутки изображаются в виде бесконечной в обе стороны прямой или луча.

Предельные точки множества

Определение. Точка х₀ называется предельной точкой (или точкой сгущения) числового множества Р, если в каждой ее окрестности содержатся отличные от х₀значения х из Р.

Сама точка сгущения при этом может принадлежать Р или нет.

Лемма (Больцано-Вейерштрасса). Любое бесконечное и ограниченное множестводействительных чисел имеет хотя бы одну предельную точку.

Примем эту лемму без доказательства.

Любая точка, принадлежащая числовому промежутку, является точкой сгущения (предельной точкой) для данного промежутка.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

Табличный способ задания функции

При этом способе записывается в определенном порядке значения аргумента x₁,...,_.x_n. и соответствующие значения функции у₁,…,у_n.Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д. К табличной функции следует отнести и функцию Е(х)(Entier от х). Значением этой функции является наибольшее целое число, не превосходящее х или короче целая часть числа х. Например, Е(2) = 2;  Е(2,5) = 2;  Е  = 3;  Е(–1,5) = –2;  Е(–p) = – 4 и т.д.