ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………
| 10
|
|
КНИГА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……………........................
| 12
|
|
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО.............................
|
12
|
|
| §1.
| ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ………………………….
| 12
|
| | 1.1.
| Ограниченные числовые множества………………………..
| 12
|
| | 1.2.
| Числовые промежутки. Окрестность точки………………..
| 13
|
| | 1.3.
| Предельные точки множества………………………………
| 14
|
| § 2.
| СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ………………………………..
| 15
|
| | 2.1.
| Табличный способ задания функции……………………….
| 15
|
| | 2.2.
| Графический способ задания функции……………………..
| 15
|
|
| 2.3.
| Аналитический способ задания функции…………………..
| 15
|
|
| 2.4.
| Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции………………………………….
|
17
|
|
| 2.5.
| Параметрическое задание функции………………………...
| 18
|
| §3.
| ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ………………………………………………………….
|
19
|
| §4.
| ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ……
| 24
|
|
| 4.1.
| Основные (простейшие) элементарные функции………….
| 24
|
|
| 4.2.
| Элементарные функции……………………………………...
| 25
|
|
| 4.3.
| Ограниченные функции……………………………………..
| 27
|
|
| 4.4.
| Монотонные функции……………………………………….
| 28
|
|
| 4.5.
| Четные и нечетные функции………………………………..
| 28
|
|
| 4.6.
| Периодические функции…………………………………….
| 29
|
| §5.
| ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ……………..
| 29
|
|
| 5.1.
| Определение и геометрическое истолкование предела последовательности………………………………………….
|
29
|
|
| 5.2.
| Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел…………………………………………………………
|
30
|
|
| 5.3.
| Бесконечно малые последовательности и их свойства……
| 32
|
|
| 5.4.
| Бесконечно большие последовательности и их свойства…
| 35
|
|
| 5.5.
| Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел……………………………………………
|
36
|
|
| 5.6.
| Неопределенные арифметические выражения……………..
| 38
|
|
| 5.7.
| Неопределенные степенно-показательные выражения……
| 41
|
|
| 5.8.
| Монотонные последовательности…………………………..
| 42
|
|
| 5.9.
| Принцип сходимости последовательности…………………
| 43
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..
| 43
|
| § 6.
| ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….
|
44
|
|
| 6.1.
| Определение и геометрическое истолкование предела функции……………………………………………………….
|
44
|
|
| 6.2.
| Односторонние и бесконечные пределы функции………..
| 46
|
|
| 6.3.
| Распространение теории пределов.........................................
| 49
|
|
| 6.4.
| Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений....................................................
|
52
|
| §7.
| КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….
|
56
|
|
| 7.1.
| Сравнение бесконечно малых……………………………….
| 56
|
|
| 7.2.
| Классификация бесконечно больших……………………….
| 59
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...
| 59
|
| §8.
| НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………..
|
60
|
|
| 8.1.
| Определение непрерывности функции в точке…………….
| 60
|
|
| 8.2.
| Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке………………………
|
61
|
|
| 8.3.
| Равномерная непрерывность………………………………..
| 61
|
|
| 8.4.
| Разрывы функции. Классификация разрывов………………
| 63
|
|
| 8.5.
| Арифметические операции над непрерывными функциями…………………………………………………….
|
65
|
|
| 8.6.
| Непрерывность и разрывы монотонной функции………….
| 66
|
|
| 8.7.
| Непрерывность сложной функции………………………….
| 67
|
|
| 8.8.
| Непрерывность элементарных функций……………………
| 68
|
|
| 8.9.
| Общие свойства непрерывных функций……………………
| 69
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...
| 70
|
|
ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.................................
|
71
|
|
| §1.
| ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ; ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА n-МЕРНОГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА……………………………………………………
|
71
|
| §2.
| СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ……………………………….
| 72
|
| §3.
| ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ………….
| 74
|
|
| 3.1.
| Сведение к случаю предела последовательности точек из Rm……………………………………………………………...
|
75
|
|
| 3.2.
| Повторные пределы…………………………………………
| 76
|
| §4.
| НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ..
| 79
|
|
| 4.1.
| Определение непрерывности (разрыва) функции нескольких переменных в точке……………………………
| 79
|
|
| 4.2.
| Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных…………………………………………………..
|
82
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...
| 84
|
|
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО..........................
|
85
|
|
| §1.
| ПРОИЗВОДНАЯ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………………….
|
85
|
|
| 1.1.
| Определение производной. Ее физическая и геометрическая интерпретация…………………………..
|
85
|
|
| 1.2.
| Вычисление производных для основных элементарных функций……………………………………………………
|
87
|
|
| 1.3.
| Производная обратной функции………………………….
| 89
|
|
| 1.4.
| Простейшие правила вычисления производных………...
| 91
|
|
| 1.5.
| Теорема о непрерывности функции, имеющей производную……………………………………………….
|
93
|
|
| 1.6.
| Производная сложной функции…………………………..
| 94
|
|
| 1.7.
| Производная показательно-степенной функции………...
| 95
|
|
| 1.8.
| Производная неявно заданной функции…………………
| 96
|
|
| 1.9.
| Производная функции, заданной параметрически………
| 97
|
|
| 1.10.
| Односторонние производные…………………………….
| 98
|
|
| 1.11.
| Бесконечные производные………………………………..
| 99
|
|
| 1.12.
| Таблица основных формул для производных……………
| 100
|
| §2.
| ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………
|
101
|
|
| 2.1.
| Определение дифференциала и его геометрический смысл……………………………………………………….
|
101
|
|
| 2.2.
| Основные формулы и правила дифференцирования……
| 103
|
|
| 2.3.
| Инвариантность формы дифференциала…………………
| 104
|
|
| 2.4.
| Использование дифференциала для приближенных вычислений…………………………………………………
|
105
|
| §3.
| ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………
|
106
|
|
| 3.1.
| Определение производной n-го порядка…………………..
| 106
|
|
| 3.2.
| Вычисление производной n-го порядка…………………...
| 106
|
|
| 3.3.
| Формула Лейбница для n – ой производной
произведения двух функций…………………………...........
|
107
|
|
| 3.4.
| Дифференциалы высших порядков…………………………
| 108
|
|
| 3.5.
| Параметрическое дифференцирование……………………..
| 109
|
| §4.
| ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ……………………………………………………...
|
110
|
|
| 4.1.
| Теорема Ролля (теорема о корнях производной)…………..
| 110
|
|
| 4.2.
| Формула Лагранжа (формула конечных приращений)……
| 112
|
|
|
| 4.2.1.
| Условие постоянства функции…………………...
| 114
|
|
|
| 4.2.2.
| Условие монотонности функции…………………
| 115
|
|
| 4.3.
| Формула Коши (обобщенная формула конечных приращений)…………………………………………………
|
117
|
| §5.
| ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ…...
| 118
|
|
| 5.1.
| Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)………
| 118
|
|
|
| 5.1.1.
| Раскрытие неопределенности вида
|
118
|
|
|
| 5.1.2.
| Раскрытие неопределенности вида ……………..
|
122
|
|
|
| 5.1.3.
| Раскрытие неопределенностей других видов………
| 123
|
|
| 5.2.
| Формула Тейлора…………………………………………….
| 125
|
|
| 5.3.
| Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций……………………………………..
|
128
|
|
| 5.4.
| Интерполяционный полином Лагранжа……………………
| 131
|
|
|
| 5.4.1.
| Установление функциональной зависимости……...
| 131
|
|
|
| 5.4.2.
| Аппроксимация функций……………………………
| 137
|
|
| 5.5.
| Исследование функции и построение графика…………….
| 143
|
|
|
| 5.5.1.
| Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба..
| 143
|
|
|
| 5.5.2.
| Максимумы и минимумы функции…………………
| 144
|
|
|
| 5.5.3.
| Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
|
148
|
|
|
| 5.5.4.
| Асимптоты……………………………………………
| 150
|
|
|
|
| 5.5.4.1.
| Вертикальные асимптоты………………...
| 152
|
|
|
|
| 5.5.4.2.
| Горизонтальные асимптоты……………...
| 152
|
|
|
|
| 5.5.4.3.
| Наклонные асимптоты……………………
| 152
|
|
|
| 5.5.5.
| Схема исследования функции и построения графика……………………………………………….
|
154
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………..............
| 157
|
|
ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ……..................................................................
|
159
|
|
| §1.
| ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………………………………..
|
159
|
|
| 1.1.
| Определения и обозначения частных производных……..
| 159
|
|
| 1.2.
| Геометрическое значение частных производных функции двух переменных……...........................................
|
161
|
| §2.
| ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ........................
|
163
|
|
| 2.1.
| Дифференцируемые функции многих переменных и их свойства…………………………………………………….
|
164
|
|
| 2.2.
| Полный дифференциал функции многих переменных….
| 166
|
|
| 2.3.
| Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных……………………………………….
|
169
|
| §3.
| КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА………………………………
|
170
|
| §4.
| ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА……………………………….
|
173
|
| §5.
| ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ……..
| 177
|
| § 6.
| ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ……………………….
|
179
|
|
| 6.1.
| Производная по заданному направлению……………….
| 179
|
|
|
| 6.1.1.
| Определение производной по заданному направлению………………………………………
| 1180
|
|
|
| 6.1.2.
| Существование и способ вычисления производной по заданному направлению..............
| 1181
|
|
| 6.2.
| Исследование пространственных кривых………………
| 183
|
|
|
| 6.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой
| 184
|
|
|
| 6.2.2. Производная по дуге пространственной кривой...
| 188
|
|
|
| 6.2.3. Кривизна пространственной кривой……………..
| 191
|
|
| 6.3.
| Скалярное поле. Градиент…………………………………
| 194
|
| § 7.
| ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА О НЕЗАВИСИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ОТ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ…………………………
|
198
|
| §8.
| ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………..
|
206
|
| §9.
| ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………………………………….
|
209
|
| §10.
| ЧИСЛОВЫЕ НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………........
|
212
|
|
| 10.1.
| Определение и примеры неявных числовых
функций…………………………………………………
|
213
|
|
| 10.2.
| Условия существования неявной числовой функции с геометрической точки зрения……………………………
|
214
|
|
| 10.3.
| Теорема о существовании неявной числовой функции…...........................................................................
|
216
|
|
| 10.4.
| Теорема о дифференцировании неявной числовой функции…………………………………………………
|
220
|
| § 11.
| ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………
| 222
|
|
| 11.1.
| Определения. Необходимые условия существования экстремума……………………………………………….
|
222
|
|
| 11.2.
| Достаточные условия экстремума функции двух переменных……………………………………………….
|
225
|
|
| 11.3.
| Условный экстремум…………………………………….
| 232
|
|
|
| 11.3.1.
| Необходимые условия для существования условного экстремума…………………………
|
233
|
|
|
| 11.3.2.
| Метод неопределенных множителей Лагранжа………………………………………..
|
234
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………...............
| 237
|
|
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ….
|
239
|
|
| §1.
| Неопределенный интеграл и его свойства………...
| 239
|
| §2.
| Таблица основных интегралов………………………..
| 242
|
| §3.
| Основные методы интегрирования функций……..
| 243
|
|
| 3.1.
| Метод непосредственного интегрирования………………..
| 243
|
|
| 3.2.
| Метод замены переменной (подстановки) под знаком интеграла……………………………………………………...
|
244
|
|
| 3.3.
| Метод интегрирования по частям………………………….
| 247
|
| §4.
| Интегрирование рациональной функции…………..
| 249
|
| §5.
| Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций………………………………
| 260
|
|
| 5.1.
| Интегрирование иррациональных функций……………….
| 262
|
|
| 5.2.
| Подстановки Эйлера…………………………………………
| 265
|
|
| 5.3.
| Интегралы от дифференциального бинома. Теорема Чебышева…………………………………………………….
|
270
|
|
| 5.4
| Интегрирование трансцендентных функций………………
| 274
|
|
| Упражнения…………………………………………………………..
| 279
|
| §6.
| Определенный интеграл……………………………………
| 280
|
|
| 6.1.
| Определение и геометрический смысл определенного интеграла…………………………………………………….
|
280
|
|
| 6.2.
| Условия существования определенного интеграла……….
| 284
|
|
| 6.3.
| Свойства определенного интеграла………………………..
| 285
|
|
| 6.4.
| Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………..
|
287
|
|
| 6.5.
| Приближенное вычисление определенных интегралов….
| 290
|
| §7.
| Некоторые применения определенного интеграла………………………………………………………..
|
303
|
|
| 7.1
| Определение и вычисление длины дуги кривой………….
| 303
|
|
| 7.2.
| Вычисление площади плоских фигур……………………..
| 311
|
|
| 7.3.
| Вычисление объема тел по площадям поперечных сечений……………………………………………………….
|
314
|
|
| 7.4.
| Вычисление площади поверхности вращения……………..
| 319
|
| §8.
| Несобственные интегралы………………………………..
| 321
|
|
| 8.1.
| Несобственные интегралы первого рода…………………...
| 321
|
|
| 8.2.
| Несобственные интегралы второго рода…………………...
| 325
|
|
| Упражнения……………………………………………..………..…..
| 328
|
|
ГЛАВА 6. ЧИСЛОВЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ……………………..
| 331
|
|
| §1.
| ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ………………………………………
| 331
|
| §2.
| ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ…
| 334
|
| §3.
| ЧИСЛОВЫЕ Ряды с положительными членами…….
| 338
|
| §4.
| ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами…………………………………………………………..
|
339
|
|
| 4.1.
| Признак, основанный на сравнении двух рядов………...…
| 339
|
|
| 4.2.
| Признак Даламбера………………………………………….
| 344
|
|
| 4.3.
| Признак Коши………………………………………………..
| 347
|
|
| 4.4.
| Интегральный признак сходимости или расходимости ряда……………………………………………………………
|
348
|
| §5.
| Ряды с произвольными членами………………..............
| 352
|
|
| 5.1.
| Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды….
|
352
|
|
| 5.2.
| Знакопеременные ряды. Признак Лейбница……………….
| 356
|
|
| 5.3.
| Свойства сходящихся рядов с произвольными членами….
| 359
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..
| 361
|
|
ГЛАВА 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………….
| 362
|
|
| §1.
| Сходящиеся и равномерно сходящиеся ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды……………………………………..
|
362
|
|
| 1.1.
| Определение функционального ряда и его сходимости…..
| 362
|
|
| 1.2.
| Равномерно сходящиеся функциональные ряды…………..
| 363
|
|
| 1.3.
| Достаточный признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда)………………………..
|
368
|
| §2.
| Непрерывность суммы функционального ряда….
| 369
|
| §3.
| Интегрирование и дифференцирование Функционального ряда…………………………………….
|
371
|
|
| 3.1.
| Интегрирование функционального ряда…………………...
| 371
|
|
| 3.2.
| Дифференцирование функционального ряда………………
| 372
|
| §4.
| Степенные ряды……………………………………………….
| 374
|
|
| 4.1.
| Сходимость степенного ряда………………………………..
| 374
|
|
|
| 4.1.1.
| Теорема Абеля………………………………………
| 374
|
|
|
| 4.1.2.
| Интервал и радиус сходимости степенного ряда…
| 375
|
|
|
| 4.1.3.
| Определение радиуса сходимости степенного ряда
| 379
|
|
|
| 4.1.4.
| Равномерная сходимость степенного ряда………..
| 381
|
|
| 4.2.
| Дифференцирование степенного ряда……………………..
| 382
|
|
| 4.3.
| Интегрирование степенного ряда…………………………..
| 383
|
| §5.
| Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие аналитической функции………………………………….
|
384
|
|
| 5.1.
| Аналитические функции…………………………………….
| 385
|
|
| 5.2.
| Разложение в ряд Маклорена функции ex…………………..
| 388
|
|
| 5.3.
| Разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x………...
| 391
|
|
| 5.4.
| Разложение в ряд Маклорена функции ln(1+x)
| 393
|
|
| 5.5.
| Разложение в ряд Маклорена функции arctgx
| 396
|
|
| 5.6.
| Разложение в ряд Маклорена функции (1+x)α
| 398
|
| §6.
| Ряды с комплексными членами………………………..
| 401
|
|
| 6.1.
| Предел последовательности комплексных чисел………….
| 401
|
|
| 6.2.
| Сходимость ряда комплексных чисел………………………
| 402
|
|
| 6.3.
| Степенной ряд комплексных чисел…………………………
| 403
|
|
| 6.4.
| Разложение показательной функции ez комплексного переменного z в степенной ряд. Формулы Эйлера………...
|
406
|
|
| УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..
| 410
|
| | | | | | | | | | | | | | |
Современный уровень развития науки приводит к тому, что в сферу университетского образования включается все больше специальностей, которые раньше носили прикладной (технический) характер. В первую очередь к таким специальностям следует отнести специальности в области компьютерных наук. Особенности подготовки студентов в университете по этим специальностям вызывают необходимость ускоренного изучения курса высшей математики, по объему, приближающемуся к университетскому. Именно такую задачу и ставит перед собой данное учебное пособие по высшей математике, которое предназначено для студентов университетов, специализирующихся в области компьютерных наук. В нем читатель найдет много отлично разработанных страниц, так как курс общей математики не может быть трудом оригинальным. Причина этого в том, что курс осуществляет первый контакт с новыми знаниями и предназначен для лиц, завершивших свое школьное образование и владеющих лишь основами элементарной математики. Особенностью данного пособия является также единый методологический подход к изложению всего курса по высшей математике, заключающийся в том, что основные математические понятия вытекают из общих понятий и из логических концепций со следующим распределением материала.
Курс разделен на пять книг.
Книга 1 содержит несколько логических концепций, элементарных понятий, относящихся к множествам и операции над ними (объединение, пересечение, разность, произведение), а также основные математические понятия, а именно: понятие функции или отображения; понятие n – мерного арифметического пространства. Рассмотрены взаимно однозначные отображения арифметических пространств R1, R2, R3 во множество точек геометрического пространства при помощи декартовой прямоугольной системы координат. Даны понятия числовых функций одного и многих действительных переменных, а также их графиков.
Книга 2 отводится для линейной алгебры. Из фундаментального понятия отображения вводятся понятия внутренних и внешних законов композиции. Рассмотрены условия, при которых действия этих законов на множестве превращает их в группы, кольца, поля и векторные пространства. Изучены: поле комплексных чисел; кольцо многочленов; векторное пространство многочленов; векторное пространство свободных векторов в геометрическом пространстве; векторы в n – мерном арифметическом пространстве. Особое внимание уделено изоморфизму векторных пространств R3 и свободных векторов в геометрическом пространстве. Из понятий векторного пространства и линейного отображения одного векторного пространства в другое проистекают понятия матриц, определителей и системы линейных уравнений. Отдельной главой рассмотрено приведение матриц, путем замены базиса к более простой форме. Сравнительно подробно, это демонстрируется для приведения квадратной матрицы к диагональному виду, а квадратичной формы к каноническому виду.
Книга 3 содержит круг понятий аналитической геометрии требуемых программой: уравнения прямой на плоскости и в пространстве; уравнения плоскости; кривые и поверхности второго порядка, уравнения кривых и поверхностей второго порядка приводятся к каноническому виду с использованием квадратичных форм. Эти геометрические понятия выступают как непосредственное приложение книги 2 или как перенесение результатов этой самой книги на язык геометрии, так как это сделано в ней для свободных векторов в геометрическом пространстве.
Книга 4 посвящена математическому анализу. Рассмотрены числовые функции одного и многих действительных переменных. Для этих функций введены понятия: предела и непрерывности; дифференциального и интегрального исчисления. Большое внимание уделено числовым методам вычисления и прикладным аспектам дифференциального и интегрального исчисления. Заканчивается книга изложением числовых и функциональных рядов.
В книге 5 собраны главы, относящиеся к понятиям, носящих технический характер на уровне курса общей математики, – это дифференциальные уравнения и ряды Фурье.
Изложение теоретического материала сопровождается наглядными примерами и решением типовых задач, что значительно облегчает усвоение теоретических положений, а также развивает навыки практического их использования. С целью закрепления учебного материала предлагаются упражнения для самостоятельной работы.