Временная стоимость денег в условиях разовых платежей

ПРОЦЕНТ И СТАВКА ПРОЦЕНТА

Одной из основных проблем, с которой постоянно сталкивается финансовый менеджер любой компании, является оценка будущей стоимости сегодняшних денежных потоков. Инвестору, оцениваю­щему свое финансовое решение, приходится постоянно оперировать с деньгами, существующими в различные моменты времени и, следо­вательно, имеющими различную стоимость, поскольку две одинако­вые, но относящиеся к различным моментам времени суммы с эконо­мической точки зрения неэквивалентны, т. е. рубль сегодня и рубль, например, через год — это разные по стоимости величины. В частно­сти, рубль полученный вами сейчас, имеет большую ценность, чем рубль, полученный в будущем.

Мерой, позволяющей соотносить между собой стоимости денег в разные моменты времени, являются процент и процентная ставка.

Процентом в общем случае называют абсолютную величину дохо­да, выраженную в денежных единицах, от какой-либо финансовой операции. Если в финансовую операцию в ее начале была вложена (инвестирована) суммаS₀,а по ее завершении получена суммаS₁то величина процента составит:

R= S₁— S₀.

Процент, рассчитанный в виде относительной величины r, назы­вается процентной ставкой:

r = R/So*100.

Хотя наиболее часто величина процентной ставки задается в про­центах, т. е. в сотых долях, в математических выкладках ставку про­цента выражают в долях единицы, рассчитывая ее в этом случае как r=R/S₀.

Величина процентной ставки определяется в расчете на опреде­ленный базовый период времени, как правило, один год и является в практических расчетах первичной по отношению к проценту, на ос­новании которой процент и рассчитывается:

R= So*r.

СХЕМА ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

В финансовом менеджменте используется большое количество различных схем начисления процентов в зависимости от типов вы­полняемых финансовых операций. Но в целом они базируются на двух простых алгоритмах: простых и сложных процентах.

Простой процент. Пусть денежная суммаS₀,называемая основ­ной, инвестирована на срок/под простые проценты по ставке r. Заметим, что r и t здесь должны быть согласованы, т. е. если процентная ставка годовая, то и срок должен быть указан также в годах.

Простой процент рассчитывается исходя из предположения, что на уже накопленный ранее процент не начисляются новые проценты. Для подсчета процентов за любой период мы должны использовать одну и ту же (основную) денежную суммуS₀.

С учетом вышесказанного располагаемая инвестором на конец указанного срокаtсуммаStсоставит:

St= S₀+ (So *r) *t = S₀(1 + rt).

Совокупный процент в этом случае может быть рассчитан сле­дующим образом:

R=St-S₀ = S₀(1 + rt)-S₀ = S₀* r* t.

Необходимо отметить, что, выполняя финансовые расчеты, часто приходится решать задачу, обратную рассмотренной выше, опреде­ляя, какую суммуS₀необходимо инвестировать, чтобы спустя времяtполучить наращенное значениеSt.

S₀ = St/(1+rt)

ВеличинаS₀в этом случае называется текущим (приведенным, настоящим) значением суммыSt,относящейся к будущему моменту времениt.Процесс вычисления текущего значения называется дис­контированием по заданной процентной ставке.

В англоязычной финансовой литературе для обозначения теку­щего значения стоимости употребляется специальное обозначение PV (presentvalue):

PV= FV/(1+rt) ,

гдеFV (futurevalue) — будущая стоимость инвестиции.

Приведенная стоимость в данной формуле — это именно тот объ­ем денежных средств, который нужно было бы инвестировать, чтобы через интервал времениtполучить будущую стоимостьFV.

Величину r в рассматриваемой процедуре дисконтирования часто называют ставкой дисконтирования, предельной нормой доходности или альтернативными издержками капитала. Ее называют альтерна­тивными издержками, поскольку она представляет собой норму до­ходности, от которой отказывается инвестор, вкладывая деньги в конкретный проект, а не, например, в государственные ценные бума­ги, скажем, облигации.

Расчеты текущей (сегодняшней) стоимости играют важную роль в решении многих финансовых проблем выбора между несколькими альтернативами, например приобретать новое оборудование или мо­дернизировать имеющееся, платить наличными или взять для этих целей кредит и т. д. Текущая стоимость является основной для сопос­тавления различных финансовых проектов, так как позволяет при­вести денежные потоки к одному и тому же моменту времени и срав­нить их по текущей (сегодняшней) стоимости.

Дисконт и учетная ставка(d).В ряде случаев проценты представля­ют собой скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100 %. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной. Разница между стои­мостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, на­зывается дисконтом.

Если вексель учитывается за один год до его погашения, то вели­чина дисконтаDможет быть рассчитана какD= S_Q*d,а сумма, кото­рую получит владелец учитываемого векселя, определится так:

S1= So- So*d=S₀(1-d).

Длядвухлет:S₂= S₀(1 - d) - S₀* d = S₀(1 - 2d)

Для трех лет:S₃=S₀(1- 2d) - S₀* d= S₀(1 - 3d)

В общем случаеSt=S₀(1–t*d)

Учетная ставка, описываемая рассмотренными выше формулами, называется простым банковским процентом, а величина (1 –t*d) — дисконтным множителем за периодtпо учетной ставкеd.

Рассматривая учетную ставку, нетрудно убедиться в ее эквива­лентности процентной ставке. Различие между ними заключается в «направлении» схемы расчета и выбора временной базы, т. е. време­ни, относительно которого вычисляется эффект финансовой опера­ции. Для процентной ставки это начало периода, а для учетной — ко­нец.

С учетом вышесказанного на дисконт можно посмотреть как на процент, уплачиваемый (получаемый) не в конце периода, а в начале, поэтому дисконтную ставку иногда называют авансированной про­центной ставкой. Очевидно при этом, что говорить о соответствии (эквивалентности) процентной и учетной ставок можно, лишь указав период (срок), относительно которого утверждается эквивалент­ность.

Так, ставки, эквивалентные для одного периода, не будут эквива­лентны и относительно другого. Это касается как ставок за период, так и годовых ставок.

СХЕМА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

В большинстве финансовых расчетов менеджерам приходится сталкиваться со сложным, а не с простым процентом.

Если сумму, начисляемую по процентам, каждый раз инвестиро­вать, иначе говоря, присоединять к основной сумме, т. е. в качестве приращения использовать не постоянную величину, как в случае простого процента, а процентную ставку от всей накопленной преды­дущей суммы, то в данном случае речь будет идти о сложной процент­ной ставке.

Таким образом, сложная процентная ставка — это такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды («проценты на проценты»).

Последовательность расчетов по сложной ставке процента в об­щем виде такова:

- сумма, начисленная за первый год: S₁ =S₀(1+r)

- сумма, начисленная за второй год: S₂= S₀(1+r)²

- сумма, начисленная заt-й год: S_{t =} S₀(1+r)^t

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестиро­вание на один период, соответствующий процентной ставке по слож­ным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенно­му значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых процентов при реинвестировании средств в конце каждого периода.

Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:

St= S₀(l+ r)^t,

гдеSt— наращенная по сложным процентам сумма;S₀— основной капитал;r— процентная ставка за период;t— срок (в периодах, со­ответствующих процентной ставке); (1 + г)^t — множитель нараще­ния.

Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам имеет вид:

PV= FV/(1+rt)

Будущая стоимость и частота капитализации. Обычно в финансо­вых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, хотя про­центы при этом могут начисляться по полугодиям, кварталам, меся­цам и т. д.

Очевидно, что чем чаще проценты капитализируются, тем быст­рее растет стоимость соответствующего актива. Годовая ставка в этом случае должна быть соответствующим образом преобразована. Так, если годовая ставка процента 12 %, то при полугодовом варианте ка­питализации она составит 6 %, при квартальном — 3 % и т. д.

Для расчета будущей стоимости при, например, полугодовой ка­питализации можно представить, что суммаPV инвестируется на два периода с процентной ставкой r/2 за каждое полугодие. Таким обра­зом, надо рассчитать будущую стоимость FVчерез два периода (полу­годия). Обобщив, можно сказать, что если m — число периодов капи­тализации в году, то будущая стоимостьFVчерез tлет при ставкеrпроцентов в год, выражается формулой

FV = PV(1+r/m)^m.

Эффективная (фактическая) процентная ставка. Итак, мы выясни­ли, что чем чаще происходит капитализация, тем быстрее растет буду­щая стоимость. Эффективная ставка процента (r_эфф) — это совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годо­вой процентной ставке при капитализации чаще, чем один раз в год. Эта последняя известна так же, как номинальная, или заявленная, ставка процента. Эффективная и номинальная ставки эквивалентны, когда обеспечивают одинаковую будущую стоимость. Таким обра­зом, для того чтобы найти эффективную ставку процента, необходи­мо решить уравнение: (1+rэфф)= (1+r/m)^m

В левой части данного уравнения показана будущая стоимость (через один год) 1 ден. ед., на которую начисляется эффективная про­центная ставка, а в правой — будущая стоимость 1 ден. ед., на кото­рую начисляется сложный процент в течение m периодов при ставке

r/m за период. Так как m периодов в совокупности составляют год, торассматриваемое уравнение отражает естественное требование того, чтобы оба эти значения будущей стоимости были равны. Для произвольного количества лет (t) имеем:

(1+rэфф)’= (1+r/m)^m

Эффективная процентная ставка часто используется для сравне­ния инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации. Рассчитав в этом случае эффективные став­ки процента, предпочтение должно быть отдано (при прочих равных условиях) варианту с большим значением эффективной (фактиче­ской) ставки процента.

Определение неизвестной процентной ставки. В некоторых финан­совых расчетах инвесторы при обосновании своих решений сталки­ваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведен­ной) и будущей стоимости при известном сроке, их разделяющем. Например, некоторые виды облигаций требуют платежа сегодня и предполагают будущий платеж на заданную сумму, но подразумевае­мая процентная ставка не указывается, и поэтому ее приходится рас­считывать.

Это можно сделать после соответствующего преобразования фор­мулы, связывающей настоящую (приведенную) и будущую стоимо­сти. В результате получим:

r=(FV/PV)^1/t-1

Любой положительный чистый поток денежных средств, создаваемый в процессе существования проекта, может быть реинвестирован, согласно методу чистой дискон­тированной стоимости, по ставке процента, эквивалент­ной применяемому коэффициенту дисконтирования. Луч­ше всего это видно при накоплении денежных средств от проекта к некоторой конечной дате с последующим опреде­лением дисконтированной стоимости этого объема средств. В табл. I5 показаны результаты такого расчета для примера из предыдущей главы, в котором единовременная инвес­тиция в 1000 ф. ст. приносит 500, 1000 и 200 ф. ст. в первый, второй и третий годы соответственно. Чистая дисконтированная стоимость проекта 556 ф. ст. при став­ке дисконта 5%.

Таблица 15. Реинвестирование с использованием метода чистой дисконтированной стоимости

Величина чистой дисконтированной стоимости, полу­ченной таким образом, будет иной, если предположить, что промежуточные потоки будут реинвестироваться не под 5%, а под другой процент.

Такое же допущение делается и тогда, когда фирма использует не собственные фонды, как мы считали раньше,а финансирует проект иззаемных средств. В этом случае фирма может использовать промежуточные потоки денежных средств для погашения займов, которыми финансировалась начальнаяинвестиция. При совершенном рынке капиталаэто равносильно реинвестированию, поскольку погашение займауменьшает будущие расходы на выплату процентов на та­кую же величину, которая могла бы быть получена при реинвестировании. Если поток денежных средств от первого года реализации проекта выплатить кредиторам, то будущие платежи процентов по второму году уменьшатся на 25 ф. ст., а по третьему году - на 26 ф. ст. Таким же образом можно пока­зать, что согласно методу чистой дисконтированной стоимо­сти любые дополнительные инвестиции (чистые расхода), осуществление которых необходимо в течение всего времени реализации проекта, будут финансироваться по стаю процента, равной ставке дисконта.

Метод внутрифирменной нормы прибыли предполагает другое допущение относительно процента, который может быть получен от промежуточных потоков денежных средств. Он предполагает, что все доходы от проекта могут принести дополнительный доход, равный внутрифирменной норме прибыли от проекта. Результаты такого расчета показаны в табл. 16, причем при его выполнении предполагалось, что проект финансируется с помощью займа в 1000 ф. ст. под 35% годовых (внутрифирменная норма прибыли от проек­та). Заем должен быть погашен при завершении проекта, а процентные платежи осуществляются из доходов по мере поступления.

Таким образом, фирма не потерпит убытков тольков том случае, когда потоки в 150и 650 ф. ст. останутся в бизнесе и будут реинвестированы под 35% для накопления 1150ф.ст. к концу третьего года. Это неудивительно, поскольку метод внутрифирменной нормы прибыли стремится установить та­кую ставку процента, при которой будут равны дискон­тированная стоимость доходов от проекта и дисконтирован­ная стоимость инвестиционных расходов. Таким образом, использование метода внутрифирменной нормы прибыли для ранжирования проектов равносильно предположению, что любые промежуточные потоки ДС от проекта будут реинвестированы под %, равный внутрифирменной норме прибыли проекта, тогда как метод чистой дисконтированный стоимости предполагает, что эти потоки принесут процент, равный ставке дисконта.

Таблица 16. Расчет реинвестиций методом внутрифирменной нормы прибыли

Реинвестиционные допущения в методе чистой дискон­тированной стоимости, вероятно, имеют экономический смысл тогда, когда предполагается, как в нашем предыду­щем графическом примере, что любое лицо может заимст­вовать и ссужать деньги под текущий процент. Тогда в ситу­ации определенности любой проект, предлагающий доход выше рыночной ставки процента, должен всегда принимать­ся, поскольку он всегда может быть финансирован путем заимствования средств на рынке. Следовательно, сущест­вование промежуточных потоков денежных средств еще не означает, что может быть принят любой дополнительный проект, приносящий доход, превышающий рыночную став­ку процента. Использование промежуточных потоков средств означает, что фирма может финансировать такие проекты без заимствования на рынке, и поэтому в условиях совершенного рынка капиталов промежуточные потоки при реинвестировании принесут доход по текущей ставке процента.

Реинвестиционное допущение является частным случа­ем общего допущения в модели чистой дисконтированнойстоимости, согласно которому ставка дисконта отражаетальтернативную стоимость капитала. Дисконтирование по текущей ставке процента определяет при наличии совершенного рынка капитала те доходы, от которых необходимо отказаться при принятии любого конкретного проекта,которые измеряются либо стоимостью заимствуемых либо потерянным процентом при использовании них средств. Например, альтернативная стоимость нашем числовом примере составляет 1157 ф. ст, 1000 ф ст из которых должны накапливаться в течение трех лет при инвестировании под 5%.Проект имеет конечную стоимость1801 ф. ст., приносит прибыль в 643 ф. ст. (Дисконтированная стоимость 556 ф. ст.) относительно своей альтернативной стоимости и поэтому должен быть реализован.

Применение метода внутрифирменной нормы прибыли эквивалентно использованию внутренней нормы рентаб-ти в качестве коэффициента дисконтирования проекта. Аэто равносильно допущению, что, осуществляя проект, фирма отказывается от возможности получить внутрифирменную норму прибыли как с капитала, вложенного в проект, так и спромежуточных от него доходов. Например, можно предположить, что если проект, показатели которого приведены в табл. 16, не будет реализован, то высвободившиеся фондымогли бы быть инвестированы под 35% годовых. Однако,какуже подчеркивалось, на совершенном рынке капитала альтернативная стоимость любого проекта измеряется текущейоценкой фондов, которая не имеет какой-либо очевидной связи с внутрифирменной нормой прибыли любого непредельного проекта. Метод внутрифирменной нормы прибыли дает правильную ориентацию при принятии или отклонениипроектов, потому что он используется совместно с альтернативной стоимостью фондов. Однако альтернативная стои­мость фондов не входит в расчет согласно методу внутрифир­менной нормы прибыли, когда он используется для ранжирования проектов. Выбор между двумя взаимоисключаю­щими проектами осуществляется только путем сравнения ихвнутрифирменных норм прибыли.