Число k, равное отношению сходственных сторон,  называется коэффициентом подобия.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство: 

Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников. 

Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, DAOB, и на сходственной стороне A₁B₁ другого многоугольника построим углы О₁А₁В₁ и О₁В₁А₁, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О₁ соединим с прочими вершинами многоугольника А₁В₁С₁D₁E₁. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.

Из определения подобных многоугольников:

Из подобия треугольников АОВ и А₁О₁В₁:

Отсюда:   и т. д.

2).

3).

Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.

Билет № 7.

Теорема Фалеса. Свойство средней линии треугольника. Доказать.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Дано: ÐAOB; 

      A₁B₁ II A₂B₂ II A₃B₃; 

      A₁A₂ = A₂A₃.

Доказать: В₁В₂ = В₂В₃.

1. Дополнительное построение: Через точку В₂ проведем прямую FE II OA, такую, что

Замечание: В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же.

Обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные между собой отрезки и на другой прямой.

 Дано: ÐAOB; B₁B₂ =В₂B₃=…; 

        A₁A₂ = A₂A₃=….

2.  Из подобия треугольников следует: ÐOA₁B₁ = Ð OA₂B₂ – соответственные Þ A₁B₁ II A₂B₂.

Аналогично доказывается параллельность других прямых.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна  его половине.

Дано: DABC; MN, ND, MD – средние линии.

Доказать: MN II AC;      

Доказательство: 

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

2. Рассмотрим DMBN и DNPC.   BN = NC (по определению средней линии);

  MN = NP (по построению);   ÐMNВ = ÐPNC (вертикальные);  Þ DMВN = DNPC (по 1 признаку).

3. ÐBMN = ÐNPC (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II PC.

4. CP = MB (из равенства треугольников); AM = MB (по определению средней линии); Þ CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC Þ AMPC – параллелограмм Þ AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению) Þ MN = 0,5AC.

7. AC II MP; MNÌMP; Þ MN II AC.

Доказать теорему о площади трапеции. Следствие. Доказать, что длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликих трапеции, равна среднему квадратичному оснований.

Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).

Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Доказательство: 

Следствие из теоремы о площади трапеции. Площадь трапеции равна произве дению средней линии и высоты:

Доказательство: 

По свойству средней линии трапеции   Поэтому

Теорема 2.  Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному оснований:     

Доказательство:

1. Пусть AD = a, BC = b, BE = h.

2. По свойству равновеликости площадей:

3. По свойству равносоставленности площадей:

Билет № 8.