Дано: ABCD – параллелограмм; 

        ÐВАО = ÐОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство: 

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ÐВАО = ÐDAО (по условию);

Þ DАОВ = DAOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);

Þ АВ = AD Þ АВСD – ромб.

Определение 2. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: AС = BD.   

Доказательство: 

Рассмотрим DАВС и DВСD.

ВС – общая;

АВ = СD (по свойству параллелограмма);

АС = ВD (по условию);

ÐАВС = ÐВСD = 90° (по свойству прямоугольника). Þ

DАВС = DВCD (как прямоугольные по двум катетам)Þ АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Дано: ABCD – параллелограмм; AC = BD. Доказать: ABCD – прямоугольник.   

Доказательство: 

Рассмотрим DАВС и DВСD.

ВС – общая; АС = ВD (по условию); АВ = СD (по свойству параллелограмма)Þ DАВС = DВCD (по ССС).

Þ ÐАВС = ÐВСD. ÐАВС + ÐВСD = 180°Þ ÐАВС = ÐВСD = 90°. ÐВ = ÐD и ÐА = ÐС (по свойству параллелограмма).   Þ ABCD – прямоугольник.

Определения: Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые; прямоугольник, у которого все стороны равны; ромб, у которого все углы прямые.

Так как квадрат является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Так как квадрат является прямоугольником, то он обладает особым свойством прямоугольника. Так как квадрат является ромбом, то он обладает особым свойством ромба. Обобщив все перечисленные свойства, получим следующие свойства квадрата.

У квадрата все стороны равны.

У квадрата все углы прямые.

У квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

5.  У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов. Стороны квадрата образуют с диагоналями углы по 45°.

Признаки квадрата. Чтобы доказать, что параллелограмм является квадратом, нужно:

Доказать, что параллелограмм является ромбом, а затем доказать, что у этого ромба все углы прямые.

Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, а потом доказать, что у этого прямоугольника все стороны равны.

Доказать теорему о площади произвольного выпуклого четырехугольника и теорему об отношении площадей подобных многоугольников.

Теорема 1: Площадь выпуклого многоугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Дано:  ABCD – выпуклый четырехугольник;  АС и BD – диагонали; AC∩BD = {O}; ÐAOB =a.

Доказательство: 

Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Иначе:  

Число k - отношение сходственных сторон - коэффициент подобия.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: 

1). DАВС~D А₁В₁С₁ Þ

2). Определим площадь DАВС:

3). Определим площадь DА₁В₁С₁:

4). Найдем отношение площадей данных треугольников: