Доказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.

АВ = СD (по первому св-ву параллелограмма);

ÐAВO = ÐODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);

ÐВАO = ÐOСD (внутренние накрест лежащие при АB II CD и секущей АС);

Þ DАВO = DODС (по 2 признаку).

ВO = OD; AO = OC.

Признаки параллелограмма.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АD II BC, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. 

АС – общая;

ВС = АD (по условию);

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие 

при АD II BC и секущей АС);

Þ DАВС = DАDС (по 1 признаку).

ÐВAC = ÐACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II СD. АВСD – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АВ = СD, АD = BC. Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. 

АС – общая; ВС = АD (по условию); АВ = СD (по условию); Þ DАВС = DАDС (по 3 признаку).

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие) Þ АD II BC;

ÐВAC = ÐACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; 

        АС∩ВD = {О}; BO = OD; AO = OC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство:   

ВO = OD (по условию); АO = OС (по условию);

ÐAOВ = ÐСOD (вертикальные);

Þ DАОВ = DDОС (по 1 признаку).

ÐОВА = ÐСDО (внутренние накрест лежащие)  

Þ АВ II СD;

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);

ÐСOВ = ÐАOD (вертикальные);

Þ DСОВ = DDОА (по 1 признаку). 

ÐВCО = ÐОAD (внутренние накрест лежащие) Þ АD II BC. АВСD – параллелограмм.

Вывести формулы, выражающие сторону правильного многоугольника через радиус вписанной и описанной окружности. Записать их для правильного треугольника, квадрата, правильного шестиугольника.

Соединим центр многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников. Из рассмотрения равнобедренного треугольника А₁ОА₂ получим: ОА₁ = R; ОN₁ = r; ÐА₁ОN₁ = 0,5ÐА₁ОА₂ .  

Для правильного треугольника:

Для квадрата:

Для правильного шестиугольника:

Билет № 6.

Прямоугольник, ромб, квадрат. Признаки прямоугольника, ромба, квадрата.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать: АС ^ ВD; ÐВАС = ÐСАD; ÐAВD = ÐDBC.   

Доказательство: 

Рассмотрим DАВС.   АВ = ВС, АО = ОС.

Þ ВО – высота и биссектриса ÐАВC.

Þ ВС ^ AD; ÐАВO = ÐCВO.

Рассмотрим DАВD. АВ = AD, BО = ОD.

Þ AО – высота и биссектриса ÐBАD.

Þ ÐВAO = ÐOAD.

Признаки ромба.

Признак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм; АС ^ ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство: 

АО = ОС; ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ÐАОВ = ÐВОС = ÐСОD = ÐАОD = 90°;

Þ DАОВ = DВОС = DСОD = DAOD (как прямоугольные по двум катетам);

Þ АВ = ВС = СD = AD; Þ АВСD – ромб.

Признак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.