Определение 2. Многоугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника являются касательными к окружности.

В многоугольник можно вписать окружность, если найдется точка, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка лежит на биссектрисе каждого угла многоугольника. Следовательно, в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех его углов имеют общую точку. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

Теорема 2: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Дано: А₁А₂…А_n – правильный многоугольник.

Доказать: 1) существует окружность с центром О, вписанная в многоугольник А₁А₂…А_n; 2) эта окружность единственная.

Доказательство:

1) Из доказательства предыдущей теоремы следует, что серединные перпендикуляры  Таким образом, окружность радиуса ОN₁ c центром в точке О является вписанной в многоугольник А₁А₂…А_n окружностью.

2) Докажем, что эта вписанная окружность единственная. Предположим, что наряду с рассматриваемой окружностью с центром в точке О и радиусом ОN₁ существует и другая вписанная в многоугольник окружность с центром в точке О₁. Тогда точка О₁ равноудалена от сторон многоугольника и лежит на каждой из биссектрис его углов, а следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОN₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совладает с центром окружности, вписанной в этот многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Билет № 5.

Параллелограмм. Свойство углов и сторон параллелограмма. Признаки параллелограмма.

Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными. У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Свойства параллелограмма.

Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.

Доказательство:  Проведем диагональ АС. АС – общая;

ÐВАС = ÐАСD (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС);

ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);

Þ DАВС = DАDС (по 2 признаку).

АВ = CD; BC = AD; ÐВ = ÐD.

ÐА = ÐВАС + ÐСAD; ÐС = ÐАСB + ÐАСD;  Þ ÐА = ÐС.

Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Доказательство: 

ÐВ + ÐА =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей АB).

ÐB + ÐС =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей BC).

ÐD + ÐC =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).

ÐA + ÐD =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей AD).

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.