Признаки параллельности прямых.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.

1)  Пусть

2) Пусть   Проведем  через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH₁ = AH. Проведем отрезок ОH₁.

3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH₁O.

4) Из        5) Из

6) Из       7)

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

2)    и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано:    Доказать:  

Доказательство:

1)

2)    и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 4 (об углах с соответственно параллельными сторонами). Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла,  то такие углы или равны или в сумме составляют 180°.

Дано:    Доказать:

Доказательство:

1)   Если - развернутый, то  тоже развернутый. У развернутого угла стороны являются дополнительными полупрямыми и образуют одну прямую.

2) Пусть  - неразвернутый. Тогда возможны следующие случаи взаимного расположения этих  углов:

Случай 1. (см. рисунок 1).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения:

Случай 2. (см. рисунок 2).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения:

Доказать формулу, выражающую площадь правильного многоугольника через   его сторону, радиус вписанной и описанной окружностей.

Соединим центр многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна   Следовательно,

Из рассмотрения равнобедренного треугольника получим:

Доказательство:

1) центральный, опирающийся на дугу, стягиваемую хордой А₁А₂;

2) Из ∆ А₁ОN₁ (ÐА₁N₁О = 90°):

Отсюда 

Билет № 4.

Сумма величин внутренних углов треугольника и многоугольника. Следствия.

1. Теорема о сумме углов треугольника.

Теорема: Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Дано:     ∆АВС.

Доказать:

Доказательство:

1. Проведем