Возьмем на прямой р точку В, отличную от точки С, и соединим точки А и В отрезком. 

Билет № 1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Перпендикуляр и наклонная.

1. Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай первого признака равенства треугольников).

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

─ следствие из 2 признака равенства треугольников.

4. Если катет и противолежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Доказательство:

1. Т. к. ÐС = ÐС₁, то DАВС можно наложить на DА₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА₁ и СВ₁. 

2. Т. к. СА = С₁А₁, то вершина А совместится с вершиной А₁. Остается доказать, что совместятся точки В и В₁.

3. Предположим, что точки В и В₁ не совместятся. Рассмотрим Δ А₁В₁В₂ – равнобедренный, так как АВ = A₁B₁ Þ А₁В₂ = A₁B₁. Тогда ÐA₁B₁В₂ = ÐA₁В₂B₁. Заметим, что ÐA₁B₁С₁ - острый угол прямоугольного треугольника А₁В₁С₁, а ÐA₁B₁В₂, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В₁ совместятся.   

Пусть р – любая прямая и точка А не лежит на ней. Из точки А опустим перпендикуляр АС на прямую р. 

Определение 1. Точка С называется проекцией точки А на прямую р. Если точка А лежит на прямой, то ее проекцией на эту прямую является сама точка А. Точка С также называется основанием перпендикуляра АС.

Возьмем на прямой р точку В, отличную от точки С, и соединим точки А и В отрезком. 

Определение 2. Отрезок АВ называется наклонной, проведенной из точки А на прямую р, а отрезок СВ называется проекцией наклонной АВ на прямую р. 

Наклонная, проекция наклонной и перпендикуляр являются гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника АВС. По т-ме Пифагора Поэтому  Аналогично

Свойство наклонной. Если из одной и той же точки проведены к некоторой прямой перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр и проекция наклонной всегда короче наклонной.

Теорема 1 (прямая). Если из одной точки проведены две наклонные к прямой, то большая наклонная имеет большую проекцию, меньшая наклонная – меньшую проекцию, равные наклонные имеют равные проекции.

Доказательство:

1) Рассмотрим DАВТ и DАСТ. ÐАТВ = ÐАТС = 90°; АТ – общая; AB > AC. Тогда по теореме Пифагора

2) Рассмотрим DАВТ и DАЕТ. ÐАТВ = ÐАТЕ = 90°; АТ – общая; AB = AЕ. Тогда по теореме Пифагора

Теорема 2 (обратная). Если из одной точки проведены две наклонные к прямой, то больше та наклонная, проекция которой больше.

Доказательство:

Рассмотрим DАВТ и DАСТ. ÐАТВ = ÐАТС = 90°; АТ – общая; BТ > CТ. 

Тогда по теореме Пифагора

Определение 3. Расстоянием от точки А до фигуры F называется кратчайший отрезок, соединяющий любую граничную точку фигуры F с точкой А. Расстояние от точки А до фигуры F обозначается