Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника.
Дано: ∆АВС; ∆А1В1С1; АВ = А1В1; ÐA = ÐA1; АС = А1С1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. Доказательство: 1. Наложим ∆АВС на ∆А1В1С1 так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. 2. Поскольку АВ = А1В1, точки В и В1 совпадут, а сторона АВ совместится со стороной А1В1. 3. Поскольку АС = А1С1, точки С и С1 совпадут, а сторона АС совместится со стороной А1С1. 4. Согласно аксиоме существования прямых стороны ВС и В1С1 также совпадут. ∆АВС = ∆А1В1С1. Теорема 2 (второй признак равенства треугольников – УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС; ∆А1В1С1; ÐA = ÐA1; АС = А1С1; ÐС = ÐС1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. Доказательство: 1. Наложим ∆АВС на ∆А1В1С1 так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, сторона АС – с равной ей стороной А1С1, а вершины В и В1 оказались по одну сторону от прямой А1С1. 2. Поскольку ÐA = ÐA1 и ÐС = ÐС1, то сторона АВ наложится на луч А1В1, а сторона СВ наложится на луч С1В1. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей на лучах А1В1 и С1В1, а следовательно, совместится с общей точкой лучей А1В1 и С1В1, т. е. с точкой В1. Значит, совместятся стороны АВ и А1В1, а также СВ и С1В1. Значит, ∆АВС = ∆А1В1С1. Теорема 3 (третий признак равенства треугольников – ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
Доказательство: 1. Дополнительное построение. Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1 и вершина С совместилась с вершиной С1, а вершина В и вершина В1 оказались по разные стороны от отрезка АС. 2. Возможны три случая: 1) луч ВВ1 проходит внутри угла АВС; 2) луч ВВ1 совпадает с одной из сторон угла АВС; 3) луч ВВ1 проходит вне угла АВС. 3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А1В1, то ∆АВВ1 – равнобедренный Þ Ð АВВ1 = ÐАВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то ∆СВВ1 – равнобедренный Þ ÐСВВ1 = ÐСВ1В (углы при основании). 4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка СÌВВ1. Так как АВ = А1В1, то ∆АВВ1 – равнобедренный Þ Ð АВВ1 = ÐАВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то в ∆АВВ1 АС – медиана. 3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А1В1, то ∆АВВ1 – равнобедренный Þ Ð АВВ1 = ÐАВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то ∆СВВ1 – равнобедренный Þ ÐСВВ1 = ÐСВ1В (углы при основании).
Определение 1. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.
Определение 3. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. CM – медиана, проведенная к стороне АВ, при этом АМ = МВ. Определение 4. Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. ВР – высота, опущенная на сторону АС. |
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 308. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
Теорема 1 (первый признак равенства треугольников – СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС; ∆А1В1С1; АВ = А1В1; ВС = В1С1; АС = А1С1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1.
Определение 2. Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной. АК – биссектриса угла А.