Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів

Назвемо клітиною будь-який многовид з краєм, яке гомеоморфне випуклому многокут.Нехай К- клітинний розклад двовимір.о многовиду F. Точка   наз. вершиною клітинного розкладу К, якщо х – вершина хоча б однієї клітини із К. Фігура   наз. стороною розкладу К, якщо вона є стороною хоча б однієї клітини з К. Введемо познач.   - число вершин,   - число сторін, - число клітин розкладання К.

Число  наз. ейлеровою характеристикою поверхні F.

Приклад. Якщо F- поверхня тетраедра, а клітинний розклад склад. із його граней, то =4, =6, =4 , тому =2.

Нехай Ф-двовимір. компактний многовид і К – будь-яке його розкладання. Розг. будь-яку клітину ABCD(рис). Назвемо клітину орієнтованою, якщо приймається до уваги той порядок, в якому вказано його кінці. Перший з вказаних кінців – початок, а другий – кінець орієнтованої сторони. При цьому кажуть, що AB і BA протилежно орієнтовані. Якщо одна з клітин ABCD, наприк. AB орієнтована, то можна ввести узгоджену орієтнацію всієї границі клітини як на рис. Кажуть, що клітина орієнтована, якщо орієнтована її границя описана способом вище.

Якщо в деякому клітинному розкладі К многовиду Ф клітини можна орієтувати так, що кожні дві клітини, які мають спільну сторону будуть однаково направленні, то многовид Ф наз орієтовним. Якщо такого клітинного розкладу не має, то многовид наз. неорієнтовним.

Покажемо, що орієнтовність многовиду є його топологічним інваріантом. Нехай Ф –орієнтований многовид, Ф’-гомеоморфний йому многовид. Ф’=f(Ф), де f – гомеоморфізм. На многовид Ф існує клітинний розклад К, клітини якого можна орієтувати так, як це вказано у означенні орієтнованого многовида. Гомеорфізм f переводить клітинний розклад многовида Ф у певний клітинний розклад K’ многовида Ф'. При цьому орієнтація кожної клітини із К переход. на відповідну клітину K’. Тоді, кожні дві клітини із K’, які мають спільну сторону, будуть однаково орієнтовані. Таким чином, властив. многовида бути орієнтованим зберігається при гомеорфізмах.

Нехай К – будь-який розклад многовиду Ф. Візьмемо одну клітину цього розкладу і орієнтуємо її  способом. Потім беремо клітину, яка має із клітиною Ф1 спільну сторону, і орієнтуємо цю клітину так, щоб спільна сторона отримала орієнтацію, протилеж. тій, яку ця сторона отримала в орієтації клітини Ф1. Потім берему іншу клітину і тд.У кінці ми прийдемо до одного з двох випад.:

а) кожні дві клітин, які мають спільну сторону, будуть однаково орієнтовні, а отже, многовид орієнтований.

б) знайдуться дві клітини, протилежно орієнтовані. Тоді многовид неорієнтовний.

Візьмемо многовид   - сферу з 2p+r дирками і p пар цих дірок заклєємо ручками, а r дірок залишемо. p,r- невідємні числа.

Теорема1. Будь-який орієнтований компактний многовид гомеоморфний деякому многовиду ; будь-який орієнтований компактний двовимірний многовид з краєм гомеоморфний деякому мнговиду

Чмсло p наз родом даного многовиду, а r – числом контурів цього многовиду. Справедлива формула

Має місце критерій гомеоморфності 2х орієнтовний компактних многовидыв:

Теорема2 2 орієнтованих компактних многовида гомеоморфні ↔ коли вони мають один і той самий рід. Два орієнтованих компактних многовида з краєм гомеоморф. ↔ коли вони мають один і той самий рід і одне і теж число контурів