Різні види рівняння кривої у просторі. Тригранник Френе.

Відображ. фігури F у фігуру F’ наз. неперерв., якщо воно близькі точки фігури F перевод. у близькі точки фігури F’.

Відображ. f фігури F у фігуру F’наз. топологічним(гомеоморфним), якщо воно бієктивне і взаємно неперервне.

Відображ.  фігури наз. локально-топологічним, якщо воно є гомеоморфним в околі кожної її точки.

Множина γ точок простору наз. елементарною кривою, якщо ця множина є образом відкритого відрізка прямої при його топологіч. відображ. в просторі.

Простою кривою наз. фігура, кожна точка якої має такий просторовий окіл, що частина фігури, яка міст. в цьому околі, є елемент. кривою.

Загальною кривою наз. фігуру, що одерж. локально топологіч. відображ. простої кривої, тобто таку криву можна покрити закінч. або зчислен. множ. елемент. кривих.

Нехай у прямокут. репері - елемент. крива, яка є тополог. образом відрізка АВ. Якщо на прямій АВ як числовій осі ввести координату t, то відображ. відрізка АВ в криву γ можна задати р-нями:

       (1), де x(t), y(t), z(t)неперер. ф-ії

(1) – параметрич. р-ня кривої

       (2)  векторне р-ня кривої

Дві параметриз  наз. еквівалентними, якщо існує допустима заміна параметра t=t(u):

Якщо лінію можна задати р-ням:  явне (канонічне) задання кривої.

У цьому випад. лінія є перетином 2-х циліндрів.

 неявне задання кривої.Перетин будь-яких 2-х поверхонь.

Пряму наз. регулярною класу C^k, де k≥1 (k раз диференційовано), якщо вона допускає регулярну параметриз., тобто задання її параметрич. р-нями (1)

 наз. натуральною параметризацією, де

В кожній точці регул. прямої класу C² існує так званний тригранник Френе.

l_v - головна нормаль

l_β - бінормаль

l_τ - дотична

На кожній з прямих тригран. вказ. одиничний вектор:

v – одинич. вектор дотичної

β - одинич. вектор головної нормалі

τ - одинич. вектор бінормалі

 визнач. стичну площину, l_v, що лежить в стичній площині і перпендик. до дотичної l_τ наз. головною нормалю кривої. l_β, що проход. ч/з т.М₀ і перпендик. до стичної площини наз. бінормаллю.l_β іl_vперпендик. до дотичної визнач.нормальну площину.Дотична і нормаль визнач. спрямну площину.

В кожній точці кривої  тригранник Френе, який визнач. 3-ма площинами, які попарно перетин. по 3-м прямим, при цьому в кожній точці кривої існує прямо кут. декартовий базис, за базисні вектори беремо (τ, v, β)

Рівняння елементів тригран. Френе:

Дотична

 напрямлений вектор =

 канонічне рівняння

Бінормаль

 -напрямлений вектор =

  канонічне рівняння

Головна нормаль

-напрямлений вектор =  

 канонічне рівняння

Нормальна площина

Спрям на площина

Стична площина