Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.

Загал. поняття топологіч. п-ру легко вивести узагальн. поняття метрич. п-ру.

Озн.Нехай є х-елемент  природи і в цій множ. виділена с-ма підмножин Т, які задов. наступ. аксіомам топологіч. п-ру:

1. Ø і мн. Х належ. Мн. Під множ. Ø, хєТ

2. сімейства із ТєТ

3. скінч. сімейства мн. із ТєТ 

(х,Т) – топологіч. пр-ір на мн.Х визнач. топологіч. ст-ра або топологія. Елементи мн.Х – точки, а елементи із Т – відкриті множини тополог. пр-ру Хю Якщо топологія Т вибрана на мн.Х – тополог. пр-ір Х.

Приклади

1.  метрич. пр-ір (Е,ρ) –топологіч., його топологія Т задаватиметься за допом. відкрит. мн. В цьому випад. кажуть, що топологія цього п-ру індукована метрикою ρ.

2. Геом.. мн. Як підмножини Rⁿ, разом з кожною своєю точкою буде містити і деякий відкритий координат. паралелепіпед і всі ті мн. в яких F є відкритими,      а                    на мн. Rⁿ. Таким способом вираж. деяка топологія, яку наз. природною топологією. Вся топологія Rⁿ перетвор. в топологіч. пр-ір, так званий числовий, якщо n=1, R¹ знаход. на прямій.

Приклади числового пр-ру я топол. є: числова пряма n=1; координатна площина n=2 і т.д.

3. Нехай задана довільна мн. Х, розг. мн. Т, яка склад. З 2-х Т₁={ Ø,x} задов. аксіомам 1-3 тополог. пр-ру. Т₁ – топологіч. Визнач. На мн. Х – анти дискретна топологія, а пара (х, Т₁) – анти дискретний топологіч. пр-ір

4. Дискретний тополог. Пр- ір. Нехай х – мн., Т₂ – с-ма всіх підмножин мн.х

Т₂ = (х, Т₂)

5. Нехай мн.х в ній 2 точки х={a,b}. Побуд. всі топологыъ Т на мн. Х.

Т₁ = {Ø, {a,b}}.

Т₂ ={Ø, {a,b}, {a},{b}}

Т₃ = Т₃ А

Озн. Околом точки в топологічному просторі наз. будь-яка відкрита множина, що містить в собі цю точку.

Множина F наз. відкритою , якщо вона разом з кожною своєю точкою містить і деякий відкритий координатний паралелепіпед, що містить цю точку. Пуста множина – відкрита. Топологічний простір (Х, Т) наз. метризованим, якщо його топологією Т можна задати за допомог. деякої метрики, тобто , що індукує топологію Т.

Нехай є топологічний простір (Х, Т). Система відкритих підмножин В Т називається базою топології Т, коли будь-яку відкриту множину можна задати у вигляді об'єднання певної сукупності мн. Вα В , Т = Вα.

Топологічний простір (Х, Т) наз. простором зі зліченною базою, якщо топологія Т має хоч одну базу, яка складається із зліченного сімейства відкритих підмножин з Х.

Множина V топологічного простору (Х, Т) наз. замкненою , коли Х/V – відкрита множина. Нехай В –база (Х, Т). Будь-яка база В має такі властивості: 1)  хЄХ хЄВα , де ВαЄВ; 2) Якщо ХЄВ₁ В₂ В В₃ЄВ: хЄВ₃⊂В.