Група афінних перетворень площини і її підгрупи.

Афінне перетвор.– це перетвор.площини, яке перевод. 3 точки , що належ. одній прямій, в три точки , що лежать на одній прямій і при цьому зберіг. їх просте віднош.. Будь-яке перетвор. подібності – це афінне перетвор. оскільки при ньому пряма переход. в пряму і зберігається віднош. точок. Тому будь-який рух є афінним перетвор. Афінне перетвор. пряму переводить в пряму, || прямі в ||прямі, півплощини в півплощини, промінь в промінь, відрізок у відрізок, кут в кут. Якщо точки А,В,С не належ.одній прямій, вони є нерухом. точками афінного перетвор. , то - тотожне перетвор. Будь-яке афінне перетвор. або зберігає або змін. орієнтацію площини: 1 роду – не змінює орієнтацію, ;2 роду – змінює, .

Афінне перетвор. можна задати ф-ми:

Доведемо, що множина афінних перетвор.А утворює групу.

Доведемо, що якщо . Дійсно, оскільки і перетвор., то  - перетвор.. Але кожне з перетвор. і переводить 3 точки, що лежать на одній прямій, в 3 точки що лежать на одній прямій і зберігає їх просте віднош., тому перетвор.  має ті ж властив., тобто є афінним. .

Доведемо, якщо  то . Дійсно, якщо точки А,В,С лежать на одній прямій то їх образи  також належ. одній прямій, оскільки, якщо припустити обернене, то знайдет. такий репер , який в перетвор. переходить в 3 точки А,В,С, які належ.ь одній прямій, що неможливо. Тому  зберігає просте віднош. 3 точок.

Група Р подібностей площини є підгрупою групи А, група D рухів є підгрупою групи А. Іншими підгрупами є: а) сукупність  всіх афінних перетворень 1 роду; б) сукупність  всіх афінних перетворень, для яких - нерухома точка(група центро-афінних перетворень); в)сукупність  всіх афінних перетворень, для яких пряма  складається з нерухомих точок.

Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.

 «Начала», яка розбивалась на 13 книг:

1)виклад теорії Δ-ків, | | прямих, умови рівно великості Δ-ків, мн-ків, теорема Піфагора;

2)Перетворення мн-ка в рівновеликий квадрат (алг. тотожність в геом.. формі);

3)Відомості про коло;

4)Вписані і описані мн-ки, побудова пр.n-кутників;

5)Теорія пропорцій;

6)Подібність мн-ків;

7, 8, 9) Арифметика в геом.. викладі. Т. про нескінч. мн-ни простих ч-л;

 10) невимірні величини, теорія квадр. ірац.;

11, 12, 13) Основи стереометрії.

Постулати:

1.2 точки визн. пряму лінію;

2.Кожну необм. пряму можна необм. продовжити;

3.З любого центра можна описати коло  радіуса;

4.всі прямі кути рівні між собою;

5.Якщо при перетині 2-х прямих 3-ю, сума внутр. одност. кутів < за 180, то ці прямі перетин. з тієї ст., де сума < 180. 

Аксіоми:

1.Рівні окремо 3-му, рівні між собою.

2.Якщо до рівних додати рівні, то одерж. рівні.

5.Всяке ціле > частини.

7. Ті, що суміщаються, рівні між собою.

«Начала» мають недоліки:

1)озн-ня фіктивні, не використ.;

2)перелік постулатів є неповним;

3)при д-ні т-м посилання на наочні зображ.;

4)пит-ня неперервності прямої та кола не обгрунт.;

5)теорія вимірювання довжин не була викладена по суті.

Проблема V-го постулату.

Проблема: Пробували д-ти як т-му.

В 1-й книзі 28 т-м д-ся без використання V-го постулату. Евклід д-ть, що 2 прямі до однієї прямої не , а значить є ||. Якщо має місце, що ч\з т-ку можна провести пряму, то V-й постулат діє.

Відомі д-ня V-го постулату:

Перокл, Омар Хайям, Вайліс,. Це д-ня хибні, всі автори опирались на деякі твердж., які еквівалентні V-му постулату.

Аксіоматика Гілберта.Виділяє 3 типи геом. об’єктів: 1) точки; 2) прямі; 3) пл.-ни. Осн. неозн. відн-ня: 1) інцендентність (належність); 2) лежати «між» для 3-х т-к;; 3) конгруентність для кутів і відрізків.

Всього аксіом 20, розбиті на 5 груп:

1) аксіоми інцендентності; 2) аксіоми порядку (4); 3)аксіоми конгруентності; 4) аксіоми неперервності; 5) аксіоми ||-ті.

1. Аксіоми належності та наслідки з них :

1.1. для 2-х т-к А і В, А≠В,  пряма, така, що А а і В а.

1.2. Для 2-х різних т-к не > 1=ї прямої, яка одночасно інцендентна кожній з них.

З цих 2-х аксіом наслідок: для 2-х різних т-к 1 і тільки 1 пряма, інц. кожній з них.

1.3. для прямої принаймні 2 т-ки, інц. їй. принаймні 3 т-ки, не інц. одній прямій.

З 1-3 наслідок: принаймні 3 прямі. Ці 3 аксіоми – площинні аксіоми.

1.4. для 3-х т-к, що не лежать на одній прямій, пл.-на, інц. кожній з них. Для пл.-ни принаймні 1 т-ка, інц. їй. наслідок: принаймні 1 пл-на.

1.5. Для 3 т-к, що одній прямій, не > 1 пл-ни, інц. їм. 3 т-ки, що не лежать на 1 прямій, 1 і тільки 1 пл-на, інц. цим т-кам.

1.6. Якщо 2 т-ки прямій а і пл.-ні α, то і т-ка пр-ої а буде інц. пл.-ні α.

1.7. Якщо для 2 пл-н α і β т-ка, інц.с кожній з них, то ще 1-на т-каїм інц.

1.8.  принаймні 4 т-ки, не інц. одній пл.-ні. наслідок: опираючись на аксіоми1 групи, д-ся такі твердж.: 1)2 різні прямі або не мають спільних т-к, або мають спільну т-ку. 2) пл.-на не інц., ні пряма можуть мати не > 1 т-ки, інц. їм обом одночасно. 3) 2 різні пл.-ни або не мають спільних інц. т-к, або ці т-ки інц. 1 прямій.   4) 2 пл-ни або не перетин., або перетин. по прямій. 5) для пл.-ни 3 т-ки, які не лежать на 1 прямій.

2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:

2.1. якщо т.В лежить між А і С, то А,В,С – 3 різні т-ки 1-ї прямої, і В лежить між А і С.

2.2. Для 2 т-к А і В прямої АВ принаймні 1 т-ка С така, що В лежить між А і С.

2.3. із 3 т-к, що 1 прямій, не > 1-ї лежить між 2 іншими. 2.4. нехай маємо 3 т-ки А,В,С, що не інц. 1 прямій (утв. Δ-к) і деяка пряма прох. ч\з внутр. т-ку одного з відрізків (ст.. Ав), не перетинає ін. пряму (АС), то вона обов. Перетне і 3 пряму(ВС)).

Т-ма:  відрізок має принаймні 1-ну внутр. т-ку.

із 3 т-к 1-на і тільки 1-на лежить між2 ін. Відрізок має нескінч. мн-ну внутр. т-к пряма містить нескінч. мн-ну т-к.

3. Аксіоми конгруентності.1. нехай А і В – 2 різні т-ки прямої а і мають т-ку А₁, інц. а₁, тоді така В₁, відрізки АВ і А₁В₁ конгруентні.

2. якщо відрізок [А₁В₁] конгр. [АВ] і [А₂В₂] конгр.[АВ]  [А₁В₁] конгр. [А₂В₂].

3. Якщо В лежить між А і С і В₁ лежить між А₁ і С₁ і [А₁В₁] конгр.[АВ]і [В₁С₁] конгр.[ВС]  [А₁С₁] конгр. [АС]. Сума конгр. Відрізків рівна між собою.

4. В заданій півпл-ні і заданим на ній променям можна побудувати кут конгр. заданому і тільки !.

5. якщо для ΔАВС і ΔА₁В₁С₁ викон. умови: АВ конгр. А₁В₁, АС конгр. А₁С₁ і < BAC конгр.< B₁A₁C_1.

4. Аксіоми неперервності. 4.1. аксіома Архімеда – нехай маємо 2 в-ки Ав і СD, тоді на прямій АВ скінч. мн-на т-к А₁, А₂, …, А_n, такі що:

1)А₁А^{^}₂А₃, А₂А^{^}₃А₄,…,А_n—2 A ^{^}_{n-1 A n}

2) [A₁A₂]конгр. [A₂A₃]… [A_n-1A_n]; 3) AB^{^}A_n.

Змістовно: Малим відрізком СD можна перекрити великий відрізок. Який би не був великий від-к і який би не був мал.. від-к, таке нат. ч-ло n, що n[CD].

4.2. Аксіома Кантора. Нехай на деякій прямій задана нескінч. к-ть від-ків А₁В₁, А₂В₂,…,А_nB_n, такі що кожний леж. В середині. Нехай для заданого в-ка СD нат. n таке, що [A_nB_n]<[CD], тоді на прямій а  т-ка М, яка !.

Аксіома Дедекінда. Нехай задано розбиття т-к АВ на 2 класи. Клас К₁і К₂, такі що К₁ К₂ = [AB]

К₁  К₂ = порожній мн-ні. Вони задовольняють таким умовам:1) А є К₁, В є К₂, при цьому класи К₁ і К₂містять ще т-ки, відмінні від А і В.2) якщо т-ка х є К₁ і х≠А, а У є К₂, то А х^{^} У(х леж. Між А і У).Змістовно: Кожна т-ка 1-го класу передує т-ці 2-го класу. Тоді М₀ є [AB], яка здійсн. Розбиття т-к від-ка на ці 2 класи так, що якщо маємо А х^{^} М_0, т-ка х є 1-му класу, якщо умова М₀ У^{^}В, У є 2-му класу. Кажуть, що М₀ здійснює дедекендів переріз.

Т-ка М₀ буде або ост. Т-кою 1-го класу, або першою 2-го класу.

Аксіом довжин в-ка(3): 1)  в-к д-ною 1; 2) якщо в-к розбитий на 2, то д-на = сумі 2 ч-н; 3) конгр. в-кам став. У від-ть рівні ч-ла. геом.. побуд. На акс. 1-4 – носить назву абсолютної геом.

Т. Якщо при перетині 2 прямих а і b 3 с, внутр. різностор.кути конгр., то ці 2 прямі а і b ||. Д-ня. Припустимо, що вони . Маємо ΔАВС: відм. < С = <B протиріччя з акс. Належності. Прямі не перетинаються.

Т. Є пряма а і т-ка А поза прямою ч\з А можна провести принаймні 1-ну пряму, яка буде || а.

д-ня.скорист. попередн. Т-мою. На основі аксіом 3-4(конгр. для кутів) по від-ню до променя АВ промінь АК, ! такий, що <KAB <AK || a.