Кривина та скрут просторової кривої. Формули Френе.

Якщо крива , то визнач. її кривина k – модуль швидкості обертання дотичної по віднош. до довжини дуги: .

Кривина кривої  обчисл. за ф-лою .           (1)

Якщо крива задана параметрич. р-нями то      (2)

Зокрема, якщо в ролі параметра кривої вибраний натур. параметр s, то , а в корд. .  (3)

Точки в яких k = 0, наз. точками розпрямлення. Ця назва виправдана такою властив.: для того, щоб крива γ була прямою лінією, необх. і досить, щоб у кожній її точці k = 0.

Величина наз. радіусом кривини кривої. Якщо від т.М  кривої на голов. нормалі в додат. напрямку відклас. відрізок довжиною R, тот одержана т.C носить назву центра кривини кривої, що відпов. т.М.

Якщо крива, , то скрут χ цієї кривої (без урахування знаку) – це швидкість обертання стичної площини навколо дотичної або, що те саме, швид. зміни напряму бінормалі: .

Скрут кривої, заданої р-ням визнач. ф-лою  (4) або в корд. вигляді           (5)

У випад. натур. параметриз. кривої, тобто , то (6) або  (7)

Рівність нулю скрута кривої у всіх точках є необх. і достат. умовою того, щоб крива була плоскою.

Точки, в яких χ = 0, наз. точками сплощення кривої.

Як виплив. із ф-ул для визнач χ,в точках розпрямлен. кривої (тобто в точках, де k = 0) скрут невизначю

ТеорФрене: похідні від базисних векторів в локальній системі координат є лінійними комбінаціями цих базисних векторів.

, ,  - формули Френе

Вивід формул Френе:

1) ; - залежать від .  

2)

3).