Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.

Неявне р-ня поверхні має вигляд F(x, y, z) = 0, (4), де функція F належить класу C^k (k≥1).

P-ня u-лінії має вигляд ,а v-ліиії- . Тоді  - є вектор, дотичн. до координатної u-лінії, а  – дотичн. до v-лінії, при цьому  не колінеарний

Будь-яку криву на поверхні можна задати в криволін. с-мі коор. u, v за допом. параметрич. р-нь (*)

Векторне р-ня такої кривої матиме вигляд . Нехай M(u,v) - точка поверхні, а (*) - будь-яка крива, що проход. ч/з цю точку. Напрям дотичної до цієї кривої визнач. вектором . Для різних кривих, що проход. ч/з т.М, ф-ії  і  будуть різні, а  і , - ті ж самі. Вектори є лінійн. комбінац. векторів  і , а значить усі  леж. в одній площині, щю визнач. т.M та векторами  і . Ця площина наз. дотичною площиною поверхні в т.М.

Р-нями дотич. площини, що відповід. річним способам задання поверхні відпов. будуть:

Нормаллю до поверхні в т.M наз. пряма, що проход. ч/з цю точку перпендик. до дотичної площини. Очевидно, що вектор  буде напрямним вектором нормалі та нормальним вектором дотичної площини.

Якщо поверхня задана неявним р-ням F(x,y,z) = 0, то

Нормалі задаються такими рівняннями:

19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.

Нехай регулярна поверхня задана р-ням   (*), а деяка регулярна лінія на цій поверхні. Тоді векторним р-ням цієї лінії буде . При цьому , де . Для кривої - де ds - диференціал довжини дуги кривої. Підставивши в останню рівність знач. , маємо

        (1)

де

Квадратич.форма І наз. першою квадратич. формоюповерхні або лінійним елементом поверхні Вона = квадрату диференціала дуги будь-якої кривої, яка проходить через задану т.M(u,v), напрям якої визнач. диференціалами du, dv.

Перша квадратична форма завжди додатньовизначена.

Якщо поверхня задана явним рівнянням z=z(x,y), то, вибравши в ролі кринолін. коор. змінні х,у, легко перейти до параметрич.р-нь х=х, у=у, z=z(x,y). Тоді

, а

                 (2)

Застосування.

1. Довж. дуги плоскої лінії (**), розташов. на поверхні (*), обчисл. за ф-ою

.

Для знаходження довж. кривої на поверхні досить знайти її першу квадратич. форму. У зв'язку з цим кажуть, що І квадратич. форма поверхні задає її метрику.

2. Кут між двома кривими. Нехай на поверхні задані 2 криві γ₁ і γ₂, які перетин. в т.М. Нехай дотичні до них визнач. векторами

Кут θ між кривими - це кут між напрямними векторами du і  їх дотич., отже

(4)

Звідки . Для u-лінії du≠0, dv=0. Для v-лінії =0. ≠0. Тоді кут θ між 2ма координат. лініями обчисл. за ф-ою

(5) Звідки координатна сітка (u, v) на поверхні ортогональна ↔коли F=0.

3. Площа σ замкненої обл. D поверхні обчисл. так

(6)

Якщо поверхня задана явним р-ням z=z(x,y), то . Тоді

Сукупність властив. поверхні, які можна вираз. ч/з коефіц. її першої квадрат. форми наз. внутріш. геомет. поверхні.

Деформація поверхні, при якій вона не розтяг., не стиск., не розрив. і не склеюєт., наз. зганянням поверхні Оскільки при такій деформації зберіг. довжини всіх дуг на поверхні, отже, і диференціали цих дуг, то зберігатиметься і перша квадрат. форма. Тобто при згинанні поверхні зберіг. її внутр. геом., хоч просторова форма змін. Таким чином, перша квадрат. форма поверхні визнач. її з точністю до згинання.

Для однознач. визнач. поверхні як жорсткого тіла, тобто визнач. її з точністю до руху, потрібно задати для неї ще і так звану другу квадратичну форму

,  де

а  - одиничний вектор нормалі до поверхні.

Якщо поверхня задана в явному вигл. z=z(x,y), то ,

Кривина похилого перерізу:  де θ – кут між вектором  і площиною похилого перерізу поверхні.

Якщо в ролі кривої на поверхні вибрати переріз площиною, перпендик. до дотичної площини (так званий нормальний переріз), то , а значить кривина нормального перерізу поверхні ,  (3)

тобто на відміну від k нормальна кривина ки може бути і від'ємною, а саме