Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.

Геометрія побудована на I - IV групах абсолютної геометрії + V група ||  Лобачевского.

Аксіома паралельності: через точку поза даною прямою можна провести принаймні дві прямі, що не перетинають дану. Далі він базується на абсолютній геометрії.

Т-ма1: В будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів менша 180⁰. Дов-ня: виходить з Т. Саккері-Лежандра: сума кутів трик-ка <=180⁰. Прип., що =180⁰, але це тв-ня еквівалентне 5-му постулату, але у нас заперечення цього постулату, отже протиріччя, тому <180⁰.

Т-ма2: В будь-якому чотирикутнику сума внутрішніх кутів менша 360⁰

Т-ма3: Сума кутів трикутника для всіх трикутників не є величина постійна.

В геом.. Лобач. Немає понятта подіб. Трикутників, а тільки поняття рівності. Як відомо з Евклідової геом.. є 3-и ознаки конгруентності трикутників. Має місце 4-та ознака конгруентності за трьома кутами.

Теор.4. Якщо 3-и кути одного три кут. відповід. рівні 3-м кутам другого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доведення:

Нехай в три кут-ах АВС і A’B’C’ ﮮА=ﮮ A’, ﮮВ=ﮮ В’, ﮮС=ﮮ С’. Довед. споч., що АВ=A’B’. Припустимо АВ≠A’B’; для визначен. допустимо, що АВ>A’B’. На променях АВ та АС візьмемо точки В’’ і С’’ так, щоб АВ’’= A’B’ і АС’’= A’С’ (мал.1). За першою ознакою рівності три-ів маємо ΔАВ’’С’’=ΔA’B’C’, тому ﮮ1= ﮮ2. За умовою ﮮ2= ﮮ3, отже, ﮮ1= ﮮ3. Аналог. ﮮ4= ﮮ6.

За припущ. АВ> A’B’, тому А—В’’—В, тобто пряма В’’С’’ перетин. сторону АВ ΔАВС.Так як ﮮ1=ﮮ3 прямі В’’С’’ і ВС не перетин., то за аксіомою Паша пряма В’’С’’ перет. сторону АС ΔАВС, та означ. А —С’’—С. Звідси слідує, що чотири кут. ВВ’’С’’С випуклий. З рівності ﮮ4=ﮮ6 і ﮮ1=ﮮ3 випливає, що сума кутів цього чотирикут. =4d. Прийшю до супереч. З теор2. Значить АВ=A’B’. За другою ознак. три-ів ΔАВС=ΔA’B’C’.

В геометрії Лобачевского все що було подібним стало конгруентним.

Система аксіом несуперечлива, якщо існує її інтерпретація, тобто система об’єктів і відношень між ними, на яких виконуються всі аксіоми. Інтерпретація Пуанкаре на евклідовій площині. Розглянемо деяку пряму і дві півплощини. Розглянемо одну з півплощин. Складемо інтерпретаційний словник: 1). Точка – будь-яка точка вказаної півплощини 2).u - Пряма –велике півколо з центром на границі без кінців. 3).Відн-ня інцед-ті – в звичайному евклідовому розумінні (належність).

І. Досить легко переконатися, що всі аксіоми інцедентності виконуються: напр.дві точки визначають одну і тільки одну пряму і т.д. ІІ. аксіоми порядку 4). Точка В лежить між точками А і С на прямій l тоді і тільки тоді коли В лежить між А іС на півколі, на промені. ІІІ. Фігура Ф1 конгруентна фігурі Ф2, якщо одну фігуру можна перевести в іншу за допомогою скінченого числа інверсій на границі. ІV. Аксіома неперервності. Легко перевірити, встановивши бієкцію між точками прямої u та точками звичайної евклідової прямої. Побудова: паралельно вправо: N – кінець „півкола” тобто прямої, кінець не належить т.А поза u, N-справа, M-зліва, отже через А і N – а1-паралельна вправо, через А і М – а2- паралельно вліво до u.

Планіметрія Лобачевского несуперечлива, якщо несуперечлива планіметрія Евкліда.