Аксіома паралельності (Плейфера).

ч\з т-ку поза прямою можна провести не > 1-ї прямої, яка || даній.

Вимоги, які пред’являються до  с-ми аксіом: 1) несуперечливість; 2)повнота; 3) незалежність.

для д-ня несуперечливості аксіоматики Гілберта використ. Модель (інтерпретація) даної с-ми аксіом.

Для побудови інтерпретації: складають інтерпр. Словник (осн. Терміни, первісні. Неозн. від-ня). Н-д, т-ка, пряма і пл.-на. Від-ня: належить, лежати між… Побудуємо арифм. Модель – ідея ккорд. (аналітичн)м-ду. В арифм. М-лі словник такий: т-ка, пряма. Т-ка М – впорядкована пара ч-л (Х,У), пряма – мн-на т-к, що задов. Дане р-ня ах+bу. Пряма – відн-ня 3 ч-л. відн-ня інцендентносі: лежати між, конгр.: 2 різні т-ки визн. 1 пряму. Перевіримо виконуваність 1 і 2 аксіом інц.: А₁(х₁у₁) і А₂(х₂у₂) визн. 1 пряму. Р-ня прямої за 2 т-ми:х-х₁/x₂-x₁ =y-y₁/y₂-y₁. кардин. 5 аксіома є еквівал. V постулату: пряма ax+by+c+0 і А(х₀у₀). Аксіома ств., що ч\з т-ку поза прямою можна провести || пряму до заданої і тільки 1-ну. Зн. Р-ня прямої, що міст. А і ||  до l.: х-х₀/α=y-y₀/β(р-ня !).Аксіоматика – несуперечлива.

Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.

С-ма аксіом Вейля склад. з 17 аксіом. Основними обєктами є точки і вектори. Пара точок визначає вектор. Основні віднош.: 1. Сума двох векторів, 2.Множення вектора на скаляр, 3.Скалярний добуток двох векторів. 4. Належність пари точок і вектора.

Є 5 груп аксіом:

I. Аксіоми додавання векторів:                 II. Аксіоми множення вектора на число:

             Аксіоми лінійного векторного простору.

III. Аксіоми розмірності

1. Існує базис 3-вимір. простору (3-ка ЛНЗ векторів , , )

2. Будь-який вектор з геом.. точки зору розклад. за базисними і притому єдиним чином.

IV. Аксіоми скалярного добутку

1. ∙ = ∙  (комутативність).

2. (α )· =α ( · ) (скаляр. множник можна винос. за знак скаляр. добутку).

3. ( + )· =( · )+( · )(дистрибутивність).

4. ( )= ²>0

V. Аксіоми належності.

1. Існує принаймні 1 точка простору.

2. Для

3.  - аксіома трикутника.

Будь-який вектор можна розкласти на базисний.

Аксіоматика Вейля несуперечлива.