Мощность в цепях синусоидального тока

Как известно, мощность в электрических цепях формируется законом Джоуля-Ленца и всегда сопровождается выделением тепла. Закон Джоуля-Ленца применительно к цепям переменного тока имеет вид:

 [А²×Ом = В×А = Вт].

Здесь Р – мощность на участке электрической цепи, I – среднеквадратичное (действующее) значение тока в нем, а R – активное сопротивление участка.

Простые математические преобразования приводят эту формулировку закона к виду:

,

где U – среднеквадратичное значение напряжения на участке, а g – его активная проводимость.

Любой участок электрической цепи синусоидального тока как обобщенный приемник электрической энергии может быть в полной мере описан подобными друг другу треугольниками напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей.

Если все стороны треугольника сопротивлений участка цепи умножить на квадрат действующего значения тока в нем, получаем треугольник, который называется треугольником мощностей (см. рис. 2.32).

Рис. 2.32

С принципиальной точки зрения здесь мощность только одна, представляемая прилежащим к углу j катетом, величина которого  и представляет закон Джоуля-Ленца. Это активная мощность (от активного сопротивления R).

Имеющая размерность мощности величина противолежащего катета  называется реактивной мощностью, учитывающей присутствие в цепи реактивного сопротивления х и степень его влияния на работу цепи.

При x = x_L – x_C получаем:

,

что в цепи формально можно рассматривать как наличие отдельно индуктивной  в катушке индуктивности и емкостной  в конденсаторе реактивных мощностей. Поскольку эти мощности имеют разные знаки, в цепи они компенсируют друг друга.

Реактивная мощность, формально не являясь таковой, никакой работы в цепи не производит, имеет размерность «Вольт-Ампер» [А²×Ом = В×А], называемую «ВАр» (вольт-ампер-реактивный).

Величина гипотенузы треугольника , имеющая размерность «Вольт-Ампер», называется полной или кажущейся мощностью, формируемой величиной полного или кажущегося сопротивления z.

Из треугольника мощностей получаем:

, ,

,

, .

Если активная мощность не изменяет своего знака и однонаправлено удаляется из цепи в виде тепла, реактивная мощность может быть и положительной (x > 0) и отрицательной (x < 0). Реактивная мощность, если не считать излучения, неизменно возвращается в цепь.

Легко видеть, что:

;

,

где I_a и I_p – активная и реактивная составляющие тока.

Величина активной мощности на участке цепи (и в цепи, и в целом) измеряется прибором, называемым ваттметром. Этот прибор (схематично) имеет две обмотки – токовую и напряжения (рис. 2.33).

Рис. 2.33

Одна из клемм токовой обмотки обозначается I* и является ее началом, вторая клемма (конец обмотки) показывает предел измерения мощности по току (например, 5А).

При правильно включенном приборе выбранное в схеме направление в токе должно быть направлено от начала обмотки к ее концу. Токовая обмотка прибора выполняет функцию амперметра и включается так, чтобы через нее проходил весь ток нагрузки, в которой измеряется мощность, т.е. обмотка включается последовательно с нагрузкой (как амперметр).

Как и обмотка амперметра она имеет очень малое сопротивление и теоретически никак не влияет на работу цепи. Иногда она называется последовательной обмоткой.

Обмотка напряжения (параллельная обмотка) выполняет роль вольтметра и подключается к зажимам нагрузки так, чтобы фиксируемое падение напряжения, формирующее вместе с током мощность Р было направлено от клеммы U* (начало обмотки) к клемме, определяющей предельное значение напряжения (например, 150 V). Для измерения мощности в любом пассивном двухполюснике, например, в обобщенном приемнике, ваттметр должен быть включен так, как показано на рис. 2.34.

Рис. 2.34

В этом случае клеммы со звездочками объединяются и включаются на сторону источника.

Если расчет цепи ведется в символической форме и , а , полную информацию о мощностях на участке цепи дает комплексное число , где I* – сопряженный комплекс тока, т.е. при .

Произведение  считается комплексной версией полной мощности на участке цепи, ибо , т.е. модуль (величина) комплексного числа  представляет полную мощность .

Если  перевести в алгебраическую форму, получим:

.

Это значит, что активная мощность есть вещественная (реальная) составляющая комплекса , т.е. , а реактивная мощность, есть мнимая составляющая этого комплекса, т.е.  – импеданс.

Часть 3. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Теоретическая электротехника располагает большим арсеналом методов расчета цепей синусоидального тока.

Все эти методы детально исследованы и обоснованы во всех учебниках по теории электрических цепей. Поэтому в настоящем учебном пособии рассматривается только использование этих методов для расчета и анализа цепей всех видов и конфигураций с помощью основных наиболее часто применяемых методов.

Наряду с законами Ома и Кирхгафа к таким методам относятся:

- метод эквивалентных преобразований;

- метод наложения;

- метод контурных токов;

- метод узловых потенциалов.

Другие методы (пропорциональных величин, эквивалентного генератора и др.) используются только для решения некоторых специфических задач.

Расчет любой электрической цепи символическим методом состоит из трех этапов:

1. Анализ цепи с целью четкого определения ее структуры, узлов, ветвей, контуров и определение неизвестных, т.е. цели расчета.

2. Перевод реальной электрической цепи (оригинала) в символическую форму путем замены реальных величин - оригиналов их комплексными изображениями, т.е. в каждой k-той ветви:

,

 ,

R_k → R_k, L_k → X_Lk, C_k → X_ck, c введением понятия обобщенного полного сопротивления всех ветвей.

Z_k = R_k + jX_k = R_k + j (X_Lk - X_ck) = Z_k∟φ_k , где

Или при (необходимости) их проводимостей

,

Где ,  и , ,

3. Выбор оптимального метода расчета.

4. Расчет цепи выбранным методом в символической форме и определение комплексных изображений искомых величин.

5. Перевод найденных комплексных изображений в область оригиналов (реальных величин).