Основные сведения о синусоидальных функциях

Основной формой записи синусоидальной функции времени является:

.

Применительно к электрическим цепям под a(t) можно понимать и синусоидальные ЭДС:

,

и электрическое напряжение:

,

и ток:

.

Коэффициент А_m при синусоиде (E_m, U_m, I_m) есть наибольшее значение синусоидальной функции и называется амплитудой. Размерность амплитуды совпадает с размерностью собственно синусоидальной функции [Вольт, Ампер].

Величина Т [сек] называется периодом синусоиды, т.е. периодом повторения однозначных значений синусоидальной функции.

Аргумент синуса  называют фазой синусоиды, а значение этой фазы в начальный момент времени (t = 0), т.е.  называют начальной фазой. И фаза, и начальная фаза измеряются или в радианах (при периоде синусоиды 2p) или в градусах (при периоде синусоиды 360°).

Величина 1/Т = f [1/сек] = Гц (Герц)] называют частотой изменения синусоидальной функции, а величину 2p/Т = 2pf – угловой частотой (смысл названия «угловая» частота будет объяснен позднее). В связи с этим в электротехнике синусоидальная функция обычно записывается так:

a(t) = A_m×sin (wt + a).

Это означает, что любая синусоида определяется тремя величинами:

– амплитуда А_m(E_m, U_m, I_m);

– частота w(f);

– начальная фаза .

Синусоида считается известной, если известны эти три величины. На рис. 2.1 представлено графическое изображение синусоиды, начальная фаза которой равна нулю.

Рис. 2.1

Как показано на графике, синусоида может быть представлена и как функция времени t[сек], и как функция зависящего от времени угла wt, измеряемого или в радианах (период 2p) или в градусах (период 360°).

На рис. 2.2 представлены графики синусоид с разными начальными фазами. На графике начальная фаза любой синусоиды, отсчитывается от ближайшей к началу координат точки перехода синусоиды (в положительном направлении оси абсцисс), от отрицательных значений к положительным через ноль до начала координат. При этом, если отсчет ведется в положительном направлении оси абсцисс, начальная фаза положительна, а при отсчете в отрицательном направлении – отрицательна.

Рис. 2.2

Это означает, что начальная фаза синусоиды рис. 2.1 равна нулю (отсчет от точки 1).

Начальная фаза синусоиды рис. 2.2,а, отсчитываемая от точки 1 до нуля, положительна (a > 0) и имеет произвольное значение.

Начальная фаза синусоиды рис. 2.2,b положительна и равна .

Соответственно (отсчет от точки 1 до нуля) начальная фаза синусоиды рис. 2.2,с a < 0, а рис. 2.2,d .

Приведенные графики и общее выражение для фазы синусоиды  указывают на уникальное свойство синусоидальных функций, а именно: синусоиды, в координатах [а(t) ¸ t] имеют разные по времени периоды Т [сек] и, как следствие, – разные частоты f = 1/T (рис. 2.1), а в координатах [а(wt) ¸ (wt)], при разных частотах имеют один и тот же период 2p или 360°. Следует понимать при этом, что масштабные коэффициенты в радианах для синусоид разных частот будут разными. Это означает, что на одном и том же графике в координатах [а(wt) ¸ (wt)] можно строить и сравнивать только синусоиды одной и той же частоты.

Значения синусоиды а(t) в каждый момент времени t_к, т.е. а(t_к) называются мгновенными значениями.

Наряду с мгновенными значениями и амплитудой синусоиды вводится понятии действующего значения, под которым понимается среднеквадратичное за период значение синусоиды и обозначается просто А(Е, U, I). Легко показать, что действующее значение и амплитуда связаны соотношением , т.е.:

; ; .

Действующие значения синусоидальных величин являются основными показателями и характеристиками ЭДС, токов и напряжений, поскольку все силовые (энергетические) проявления электрического тока и напряжения определяются их действующими значениями. Все измерительные приборы основных промышленных систем (электромагнитные, электродинамические и т.п.) фиксируют именно действующие значения синусоидальных величин.

Таким образом, синусоидальные ЭДС, токи и напряжения однозначно определяются амплитудой (или действующим значением), частотой и начальной фазой.

Это значит, что найти, например, синусоидальный ток означает, что необходимо найти не одну (как в случае постоянного тока), а три величины: I_m(I), w и y_i.

Это относится и к ЭДС, и к напряжению, и само по себе уже указывает на то, что расчет цепей синусоидального тока является более сложным, чем цепей постоянного тока. Более сложными оказываются, в том числе и математические действия над синусоидальными функциями (величинами). Например, известно, что результатом сложения двух (или более) синусоид является синусоида. Однако, определить эту синусоиду (ее амплитуду, частоту и начальную фазу) по известным слагаемым в рамках обычных инженерных расчетов практически невозможно, поскольку в тригонометрии приемлемые для таких расчетов формулы отсутствуют.